2014年04月12日の記事一覧 - 詳細表示

7189：頭の正四面体...

問題7189・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より引用 Orz～

４つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。

正四面体ＡＢＣＤの各頂点から対面こ下ろした垂線４本は１点で交わることがわかっています。この点をＨとし、Ａから対面に下ろした垂線の足をＥとすると、ＡＨ＝ＥＨ×３となりました。

いま、一辺が１ｃｍの正四面体ＡＢＣＤの外側に、辺が１ｃｍの４つの正四面体ＰＢＣＤ、ＱＡＣＤ、ＲＡＢＤ、ＳＡＢＣ、を配置するとき，４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを結んでできる立体ＰＱＲＳもまた正四面体となります。

正四面体ＰＱＲＳの一辺の長さを求めなさい。

（２０１２年算数オリンピック、ファイナル問題より）

解答

・わたしの…

△ABCと△PQRは平行…

Dから△PQRまでの距離は…DH=2 とすると...

SH=6

正四面体PQRSの垂線の交点は…底面から、6*(1/4)=3/2

元の正四面体のそれは1なので…3/2 cm

でいいですよね…?…^^

↑

またも啓蒙されちゃいました♪

↓

・鍵コメT様のもの Orz～

三角形ABCの重心をGとして，DH=GH×3，つまり，DH:HG=3:1なので，
「DH=3とすれば，SH=5」のはずです．
底面からの距離を考える必要はなく，この時点で，
ABCDとPQRSの相似比は3:5と分かりますね．

三角形の重心は，頂点側から2:1です．
これは，重心と各頂点を結んで三角形を分割したとき，
面積が3等分されることから理解することができます．

四面体の重心は，頂点側から3:1となります．
このことは，問題文には(ヒントとして)書いてありますが，
重心と各頂点を結んで四面体を分割したとき，
体積が4等分されることから理解することもできます．

*重心の位置の盲点...思い込み…Orz～

*どちらの立体の重心の位置は同じ☆

お気に入り♪

医局で花見ぃ～^^

病棟に飾ってあったこいつをちょっくら拝借して…Orz

医局のプリンターの上に置いてみた…^^

なかなか側に美女を侍らしてる気分にも似て心地よかばい♪

7188：連続する３数を辺に持つヘロンの△...

問題7188・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34172702.html より Orz～

３辺が 3，4，5 の三角形の面積は 6 ，３辺が 13，14，15 の三角形の面積は 84 ですので、

n＝4，14 のとき３辺が n－1，n，n＋1 三角形の面積が自然数になります。

では、14＜n＜1000 の範囲で３辺が n－1，n，n＋1 三角形の面積が自然数になる自然数 n は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34196242.html より Orz～

[解答1]

　{(n－1)＋n＋(n＋1)}/2＝3n/2 だから、

　面積は √{(3n/2)(3n/2－n＋1)(3n/2－n)(3n/2－n－1)}＝(n/4)√{3(n²－4)} となって、n は偶数です。

　n＝2a とおけば、面積は a√{3(a²－1)} で、これが自然数だから、3(a²－1)＝(3b)² とおけば、a²－3b²＝1 、

　(a＋1)(a－1)＝3b² です。また、14＜n＜1000 なので、7＜a＜500 です。

　a が偶数の場合、

　 a＋1，a－1 は奇数で差が 2 なので互いに素、片方が平方数，他方は 3×平方数です。

　また、7＜a＜500 なので、6＜a－1＜a＋1＜501 、

　この範囲で 3×平方数の形で表される奇数は、27，75，147，243，363 だけですので、

　 (a＋1，a－1)＝(27，25)，(363，361) 、a＝26，362 です。

　a が奇数の場合、

　 (a＋1)/2，(a－1)/2 は自然数で差が 1 なので互いに素、片方が平方数，他方は 3×平方数です。

　また、7＜a＜500 なので、3＜(a－1)/2＜(a＋1)/2＜250＋1/2 、

　この範囲で 3×平方数の形で表される自然数は、12，27，48，75，108，147，192，243 だけですので、

　 ((a＋1)/2，(a－1)/2)＝(49，48) 、a＝97 です。

　まとめると、a＝26，97，362 、n＝2a＝52，194，724 です。

[解答2]

　{(n－1)＋n＋(n＋1)}/2＝3n/2 だから、

　面積は √{(3n/2)(3n/2－n＋1)(3n/2－n)(3n/2－n－1)}＝(n/4)√{3(n²－4)} となって、n は偶数です。

　n＝2a とおけば、面積 a√{3(a²－1)} が自然数だから、3(a²－1)＝(3b)² とおけば、a²－3b²＝1 です。

　以下、x，X を自然数、y，Y を整数とします。

　Ｓ＝｛x＋y√3｜x²－3y²＝1｝とすれば、x＋y√3∈Ｓのとき x－y√3∈Ｓで、

　(x＋y√3)(x－y√3)＝1 だから y＞0 のとき 0＜x－y√3＜1＜x＋y√3 です。

　また、集合Ｓの 1 より大きい要素のうち、最小の要素は 2＋√3 です。

　(x＋y√3)(2＋√3)＝(2x＋3y)＋(x＋2y)√3 、(2x＋3y)²－3(x＋2y)²＝x²－3y² だから、

　x＋y√3∈Ｓならば (x＋y√3)(2＋√3)∈Ｓになります。

　(X＋Y√3)/(x＋y√3)＝(X＋Y√3)(x－y√3)/(x²－3y²)＝{(Xx－3Yy)＋(Yx－Xy)√3}/(x²－3y²) 、

　(Xx－3Yy)²－3(Yx－Xy)²＝(X²－3Y²)(x²－3y²) だから、

　x＋y√3∈Ｓ，X＋Y√3∈Ｓならば (X＋Y√3)/(x＋y√3)∈Ｓになります。

　ここで、x＋y√3∈Ｓのとき、x＋y√3＜X＋Y√3＜(x＋y√3)(2＋√3) である X＋Y√3∈Ｓが存在すれば、

　1＜(X＋Y√3)/(x＋y√3)＜2＋√3 を満たす (X＋Y√3)/(x＋y√3)∈Ｓが存在することになり、

　集合Ｓの 1 より大きい要素のうち、最小の要素が 2＋√3 であることに反します。

　よって、集合Ｓの 1 より大きい要素を小さい順に並べると、(2＋√3)^k (k＝1，2，3，……) になり、

　a²－3b²＝1 を満たす自然数 a は {(2＋√3)^k＋(2－√3)^k}/2 (k＝1，2，3，……) で表され、

　n＝2a＝(2＋√3)^k＋(2－√3)^k (k＝1，2，3，……) です。

　a_k＝(2＋√3)^k＋(2－√3)^k とおけば、a₁＝4，a₂＝14，

　a_k+2＝(2＋√3)^k+2＋(2－√3)^k+2＝(2＋√3)(2＋√3)^k+1＋(2－√3)(2－√3)^k+1

　＝{4－(2－√3)}(2＋√3)^k+1＋{4－(2＋√3)}(2－√3)^k+1

　＝4a_k+1－{(2－√3)(2＋√3)^k+1＋(2＋√3)(2－√3)^k+1}

　a_k+2＝4a_k+1－a_k となって、

　a₃＝4a₂－a₁＝52，a₄＝4a₃－a₂＝194，a₅＝4a₄－a₃＝724，a₆＝4a₅－a₄＝2702，……

　求める答は 52，194，724 です。

*熟読玩味ぃ～^^;v

手計算じゃわからず…^^;
S=n(n-1)*sinθ
(n+1)^2=n^2+(n-1)^2-2n(n-1)*cosθ
sinθ=S/(n(n-1))
cosθ=(n-4)/(2(n-1))
S^2/(n(n-1))^2+(n-4)^2/(4(n-1)^2)=1
4S^2+(n(n-4))^2=4(n(n-1))^2
4S^2=n^2(2^2(n-1)^2-(n-4)^2)
=3n^2(n-2)(n+2)
(2S)^2=n^2*(3(n^2-4))
3(n^2-4)=m^2
3n^2=m^2+12
m=3t
n^2=3t^2+4
14<n<1000 で計算させると…Orz
n=52, 194, 724

ちなみに...れいのオンライン数列大辞典から…