アットランダム≒ブリコラージュ

7213：2個の弓形と最大の△の面積...

問題7213・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34200859.html  より Orz〜

　図のように、弦ABを共有し、ABに関して同じ側にある、中心を内部に含む２つの弓形があり、

　Aを通る直線と弓形の弧の部分との交点をP，Qとします。

　AB＝12，２つの弓形の半径を 22，8 とするとき、△BPQ の面積の最大値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34232444.htmlより Orz〜

[解答1]

　座標平面上で、A(0，0)，B(12，0) とし、直線APを x＝my とします。

　外側の弓形とｙ軸との交点のｙ座標は、三平方の定理より √(44²−12²)＝16√7 だから、

　外側の弓形は (12，0)，(0，16√7) を直径の両端とする円の一部で、x(x−12)＋y(y−16√7)＝0 、

　x＝my とすれば、(m²＋1)y²−(12m＋16√7)y＝0 より、

　P(m(12m＋16√7)/(m²＋1)，(12m＋16√7)/(m²＋1)) になります。

　内側の弓形とｙ軸との交点のｙ座標は、三平方の定理より √(16²−12²)＝4√7 だから、

　内側の弓形は (12，0)，(0，4√7) を直径の両端とする円の一部で、x(x−12)＋y(y−4√7)＝0 、

　x＝my とすれば、(m²＋1)y²−(12m＋4√7)y＝0 より、

　Q(m(12m＋4√7)/(m²＋1)，(12m＋4√7)/(m²＋1)) になります。

　よって PQ＝√{m²(12√7)²/(m²＋1)²＋(12√7)²/(m²＋1)²}＝(12√7)/√(m²＋1)

　BとPQの距離は、ヘッセの公式により、12/√(m²＋1) だから、

　△BPQ＝{(12√7)/√(m²＋1)}{12/√(m²＋1)}/2＝(72√7)/(m²＋1) となって、

　m＝0 のとき、最大値 72√7 になります。


[解答2]

　∠PBQ＝∠AQB−∠APB が一定で、 AB⊥AP のとき、BP，BQ は直径となり、長さは最大です。

　よって、このとき、△BPQ の面積が最大になり、

　PQ＝PA−QA＝√(44²−12²)−√(16²−12²)＝12√7 だから、

　△BPQ＝PQ･AB/2＝(12√7)･12/2＝72√7 です。

*最初気付けず…^^;

大円の中点Oを通るBOP
小円の中点O'を通るBO'Qを伸ばした直線と大円の交点をRとすると、
PQAは1直線になっており…大円の傾きは小円より小さいので、Pが真上に近づくと△QABの高さの増加の方が大きくなる…
その場合で計算すると…
44^2-12^2=4^2(11^2-3^2)
=4^2*(121-9)=4^2*112

16^2-12^2=4^2*(4^2-3^2)
=4^2*7

6*4*(√112-√7)
=24*(4√7-√7)
=72√7

逆の場合が上手く言えない…^^;

やっと気付けて Aha!!

角AQB=一定
角APB=一定
から、
角BQP=一定
つまり…
角PBQ=一定=α
なので…
小円の中点O'を通るBO'Qを伸ばした直線と大円の交点をRとすると、
PR=一定
このとき、
△QBP=BQ*BP*sin α
sin α=一定 だから…
BQ*BPが最大のときとわかり、
BQ,BPが直径であればよく、
じっさいに、そのときAQPは一直線となり存在することが分かるわけですね♪

*お気に入り☆

7212：△の線分比...

問題7212・・・浮浪さんの「浮浪の館」 http://www.geocities.jp/hagure874/  より Orz〜

解答

上記サイト http://www.geocities.jp/hagure874/ ;より Orz〜

・なかさんのもの Orz〜

*そっかぁ…相乗…^^;

わたしゃ…

AB//DH というHをCF上に取り…DH=1.75*(1.2/3.5)=0.6
2.85:0.6=285:60=19:4
なんて...回り道うろうろ…^^;...