アットランダム≒ブリコラージュ

7228：n^m+1,m^n+1が10の倍数...

問題7228(友人問)

m, n は自然数で、m<n を満たすものとする。

m^n+1、n^m+1 がともに10の倍数となる m, n を1組与えよ。

解答

・わたしの…

3^2=9

3^3=7

7^2=9

9^3=9

試行錯誤で…^^;

3^6=729 なら…

(3^6)^9=((3^2)^3)^9=9^9=(9^3)^3=9

じっさいの値=58149737003040059690390169

9^(3^6)=9^((3^2)^3)=9^9=(9^3)^3=9

じっさいの値=

つまり…

m=9

n=3^6=729 は満たしてますね ^^;v

・鍵コメT様からのもの Orz〜

9の奇数乗の一の位は9なので，例えばm=9,n=19でよいと思います．

きちんと特定すると，次のようになると思います．
m,nがともに奇数であることは明らか．
一の位が1である数は，何乗しても一の位は1で，m,nとして不適．
一の位が3,7である数は，2乗の一の位は9，3乗の一の位は7,3，
4乗の一の位は1，以下繰り返しだから，奇数乗の一の位は9にならず，
m,nとして不適．
一の位が5である数も当然不適．

よって，m,nの一の位は9に限り，このとき，条件を満たす．

以上より，求めるm,nは，自然数a,bを用いて，
m=10a-1,n=m+10b. 

*そっか!! 相乗☆

気付けなかった盲点…^^;...

7227：円に内接と外接する四角形...

問題7227・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34216032.html  より Orz〜

　AB＝14，BC＝12，CD＝11，DA＝13 の 四角形ABCDには外接円と内接円があり、

　AB，BC，CD，DA と内接円の接点をそれぞれ K，L，M，N とするとき、AK＝AN＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34244926.html より Orz〜

[解答1]

　cosC＝−cosA に注意して △ABD，△CDBで余弦定理より 

　BD²＝AB²＋DA²−2･AB･DA･cosA＝BC²＋CD²＋2･BC･CD･cosA 、

　よって、2(AB･DA＋BC･CD)cosA＝AB²＋DA²−BC²−CD² 、

　2(AB･DA＋BC･CD)(1＋cosA)＝(AB＋DA)²−(BC−CD)²＝(AB＋DA＋BC−CD)(AB＋DA−BC＋CD) です。

　次に、sin²A/tan²(A/2)＝(1−cos²A)(1＋cosA)/(1−cosA)＝(1＋cosA)² 、

　sinA/tan(A/2)＝1＋cosA になります。

　また、内接円の半径を r とすれば、r/AK＝tan(A/2) より、AK＝r/tan(A/2) 、

　四角形ABCDの面積を S とすれば、

　r＝2S/(AB＋BC＋CD＋DA)＝(AB･DA＋BC･CD)(sinA)/(AB＋BC＋CD＋DA) です。

　更に、r/AK＝tan(A/2) より、AK＝r/tan(A/2) だから、

　AK＝(AB･DA＋BC･CD){(sinA)/tan(A/2)}/(AB＋BC＋CD＋DA)

　 ＝2(AB･DA＋BC･CD)(1＋cosA)/{2(AB＋BC＋CD＋DA)}

　 ＝(AB＋BC−CD＋DA)(AB−BC＋CD＋DA)/{2(AB＋BC＋CD＋DA)}

　 ＝28･26/(2･50)＝728/100＝7．28 になります。


[解答2]

　内接円の中心を P，半径を r とします。

　また、頂点 A，B，C，D から接点までの距離をそれぞれ a，b，c，d とします。

　PK⊥AB より ∠PAK＋∠APK＝90ﾟ 、∠PAK＋∠PCL＝∠BAD/2＋∠BCD/2＝180ﾟ/2＝90ﾟ だから、

　∠APK＝∠PCL 、また ∠AKP＝∠PLC＝90ﾟ だから、△APK∽△PCL になり、

　AK：PL＝PK：CL 、a：r＝r：c 、ac＝r² になります。

　同様に、bd＝r² になり、ac＝bd 、a：b＝d：c です。

　加比の理により、a：b＝d：c＝(a＋d)：(b＋c)＝AD：BC＝13：12 になり、

　a＝AK＝AB･13/(13＋12)＝14･13/25＝182/25＝7．28 です。


☆ a＝7．28 ，b＝6．72 ，c＝5．28 ，d＝5．72 です。

*加比の理…聞いたことはあるも...使い切れてないってことだわ…^^;...

これは...つらつら眺めせしまにやっと気付けて…[解答2]チックで…^^;v

内接円の中心をO,半径をr,AK=a, BK=b とする...
√(14*13*12*11)=r*(14+13+12+11)/2　←ブラーマグプタの公式から…Orz...
r=2√6006/25
□AKON〜□CMOL…相似比r^2/a
□BKOL〜□DMON…相似比r^2/b
a+b=14, b+r^2/a=12, r^2/a+r^2/b=11, a+r^2/b=13
a=182/25=7.28, b=168/25=6.72