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わたしゃ…n^0=1 だから…考えることもなく…
0^0=1だとばかり思ってたのよ…^^;
but...実は不定というか、定義されてないんですねぇ !!
画像：http://primzahl.seesaa.net より 引用 Orz〜
「図は、0 < x < 2, -2 < y < 2の範囲のz = x^yのグラフだ。
この時、x = 0, y = 0のところ、つまりz軸そのものに注目すると、グラフがz軸の0から無限上方までピッタリ貼り付いていることが分かる。虚数が出てくるなど複雑になるため、z < 0の範囲については図示していないが、無限下方についても同様である。0^0の値が数の全域にわたっていることが視覚的にも把握できた。それにしても、この曲面の美しさはどうでしょう。」 「「0の0乗はいくらになるだろうか？」
ある数を0乗すると、普通は1になるが、それは0が相手でも同じだろうか？ここで、「0乗」の意味について考える。 0でないある数nがあるとする。nの2乗をnで割ると、nの1乗になる。そして、nの1乗をnで割ったら、それはnの0乗だ。 つまり、
n^0 = n^1 / n = 1 これと同様のことを0について行うと、 0^0 = 0 / 0 0 / 0 = xとおいて式を変形すると、0 * x = 0となる。この時、xはどんな数であってもこの式は成り立つ。つまり、0/0は全ての数を表すので、数学的には「不定」と表現する。そして、このことから0^0も不定となる。」 なるほど納得☆
but…0^0=1でも納得してしまう説明もあるのよねぇ…^^;…
http://ja.wikipedia.org/wiki/0の0乗 より Orz〜
「定義されないことの説明
0の0乗が通常定義されないのは、2変数関数 xy が、原点 (0, 0) において値をどのように定義しても連続にならないことが理由の一つである。もっとも、0の0乗に対して特定の実数値を定義する場合もある。ただし、それは数学的必然性によるものでなく、あくまで便宜的なものである。
冪（累乗）は次のように帰納的に定められる。
0乗を定義する際は、関係 xn+1 = xn × x1 が n = 0 でも成り立つように定めるのが自然である。よって、x0+1 = x0 × x1 より、x が 0 でなければx0 = x/x = 1 となる。しかし、x = 0 の場合は 0/0 が定義されないため、この考え方で0の0乗の値を定めることはできない。
x ≠ 0 のとき x0 = 1 であるから、0の0乗を 1 と定めることが自然であると考えられる一方、n が正の整数のとき 0n = 0 であるから、0の0乗を 0 と定めることも自然であると考えられる。このように、こちらを立てればあちらが立たず、という状況であり、全てに都合の良い定め方はない。
このことを関数の考え方を用いて説明するならば、次のようになる。関数 x0 の x → 0 に対する極限をとるならば 1 となり、関数 0x の x → +0 に対する極限をとるならば 0 となる。このふたつの極限値が異なるため、通常は0の0乗を定めないのである。
1と定義する考え方
しばしば、0の0乗は 1 と定義される。例えば、計算機科学者のドナルド・クヌースは、1 と定義するのが妥当だという考えを表明している。彼によると「0x という関数は数学的意義に乏しいのに対し、x0 は様々な公式に頻繁に現れるため、こちらを基準に取る方が形式的に便利な局面が多い」という。例えば、二項定理の公式
は、00 = 1 としたときのみ x = 0 に対して適用可能になる。クヌースのこの意見は、彼が離散数学、組み合わせ論のバックグラウンドを持つことを反映している。この定義はあくまで利便性に基づくものであり、数学的必然性とは区別すべきである。
同様の例として、指数関数の定義式
が x = 0 でも妥当であるためには 00 = 1 である必要がある。00 を定義しない文脈においては
と定義しなければならない。
数学的意義を多少持っている説明としては、「非負の整数 x, y に対し『x の y 乗』は、y 個の要素を持つ集合 A から x 個の要素を持つ集合 B への写像 f: A → B が何通りあるかを数えたもの」とする考え方がある。数学基礎論や集合論をバックグラウンドに持つ者が好む説明である。例として A = {a, b, c }, B = { α, β } を考えると、A から B への写像は8通りあることから、この定義が通常の「x の y 乗」の定義と一致することが了解されよう。この考え方では、空集合から空集合への写像はまさに「空集合から空集合への写像」（空写像）という一通りしかないことから、0の0乗は 1 という値を持つ。
*この説明が納得できたり ^^
・・・
2014年（平成26年）2月13日付『読売新聞』の「よみうり寸評」欄では、「数学にはふしぎな定義がある。0に0をかければ0だが、0を0乗すると、1になる。無から有が生まれるのだ◆何年生で習ったろう? いかに優等生でも試験が終われば忘れよう。現実の生活で、0を0乗する場面はないからである。…」という書き出しで、昨今の若者の学力低下と文部科学省の指示の的外れぶりを憂えた。」
*読売読んでたようでも覚えてないわ…^^;…?
わたしの中では…0^0=1でもいっこうに困らないと思えたり…? ちなみに…
y=x^x をWolframAlpha で描くと…
画像：http://questionbox.jp.msn.com/qa4881971.html より 引用 Orz〜
「info22さんのもの Orz〜
y>0では2次元のグラフを描くソフトで簡単にプロットできます。
GRAPES,Function Plotなどのフリーソフトを使えば式をそのまま入力するだけでグラフが描けます。 x=0の時は0^0の値が定義の問題で1とする場合や0とする場合がありますね。 x<0に対しては xが整数の時だけ値が存在し、整数でない時は関数が定義できません。 x<0の時, -x>0なので y={1/(-1)^(-x)}*{1/(-x)^(-x)} となって、{1/(-x)^(-x)}は実数値が確定しますが、 {1/(-1)^(-x)}は「-xが整数の時のみ」実数となるので、 xが負の時はのxが整数のときだけ関数値が存在します。」 *どういうことか今一分からず…^^;…Orz...
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