アットランダム≒ブリコラージュ

7249：円に外接する等脚台形...

問題7249・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

7248：時計の3針でできる△...

問題7248・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34237532.html  より Orz〜

　短針の中心からの長さが √2，長針の中心からの長さが 2，秒針の中心からの長さが 2 である時計で、

　短針と長針の作る角が 45ﾟ、短針･長針･秒針の先端を頂点とする三角形の面積が 2 である時刻は？

　もちろん、その時刻は０時と12時の間です。

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34261777.html  より Orz〜

[解答1]

　半径が 2 で 中心角が 45ﾟ の扇形の面積は 2²π/8＝π/2＜2 だから、

　秒針は、短針と長針の作る劣角 45ﾟ の間にない時刻です。

　まず、右回りに、長針が短針より 45ﾟ ，秒針が長針よりθ (0ﾟ＜θ＜315ﾟ) 進んだ状態を考えます。

　時計の中心をO，短針･長針･秒針の先端をそれぞれ H，M，S とすれば、

　θ≧180ﾟ のとき △OMS≦0，θ≦135ﾟ のとき △OSH≦0 として、

　△HMS＝△OHM＋△OMS＋△OSH＝(1/2)･(√2)･2･sin45ﾟ＋(1/2)･2･2･sinθ＋(1/2)･2･(√2)･sin(315ﾟ−θ)

　 ＝1＋2sinθ＋(√2)sin(315ﾟ−θ)＝1＋2sinθ＋(√2)(sin315ﾟcosθ−cos315ﾟsinθ)

　 ＝1＋2sinθ−cosθ−sinθ＝1＋sinθ−cosθ＝1＋(√2)sin(θ−45ﾟ) だから、

　1＋(√2)sin(θ−45ﾟ)＝2 、sin(θ−45ﾟ)＝1/√2 、θ＝90ﾟ，180ﾟ です。

　１分あたり長針は短針より (360ﾟ−30ﾟ)/60＝11ﾟ/2 多く進みますので、

　０時から最初に 長針が短針より 45ﾟ 進んだ状態になるのは 45ﾟ/(11ﾟ/2)＝90/11 分後で、

　以下、360ﾟ/(11ﾟ/2)＝720/11 分ごとにこの状態になります。

　よって、n回目にこの状態になるのは、90/11＋(720/11)(n−1)＝(720n−630)/11 分後です。

　また、(720n−630)/11＜12･60 だから、n≦11 になります。

　１分あたり秒針は長針より 360ﾟ−360ﾟ/60＝354ﾟ 多く進みますので、

　０時から最初に 秒針が長針より θ＝90ﾟ 進んだ状態になるのは 90ﾟ/354ﾟ＝15/59 分後で、

　また、秒針が長針より θ＝180ﾟ 進んだ状態になるのは 180ﾟ/354ﾟ＝30/59 分後で、

　以下、360ﾟ/354ﾟ＝60/59 分ごとにこの状態になります。

　よって、m回目に秒針が長針より 90ﾟ，180ﾟ 進んだ状態になるのは、

　15/59＋(60/59)(m−1)＝(60m−45)/59 ，30/59＋(60/59)(m−1)＝(60m−30)/59 分後です。

　よって、(720n−630)/11＝(60m−45)/59，(720n−630)/11＝(60m−30)/59 、

　59(48n−42)＝11(4m−3)，59(24n−21)＝11(2m−1) になりますが、

　前者は 左辺が偶数，右辺が奇数だから成り立ちませんので、

　59(24n−21)＝11(2m−1) 、1416n−1239＝22m−11 、708n＝11m＋614 、

　708(n−5)＝11(m−266) 、n≦11 に注意して、n＝5，m＝266 です。

　０時から後、5回目に長針が短針より 45ﾟ 進んだ状態になるのは、

　(720･5−630)/11＝270 分後で、4時30分です。

　( 266回目に秒針が長針より 180ﾟ 進んだ状態になるのは、(60･266−30)/59＝270 分後 )

　また、12時を基準にして同じ時間分だけ前と後では、短針･長針･秒針がすべて鏡像になるから、

　12時−4時30分＝7時30分 に長針が短針より 45ﾟ 遅れた状態になります。

　よって、答は 4時30分，7時30分 です。


[解答2]

　時計の中心をO，短針･長針･秒針の先端をそれぞれ H，M，S とします。

　OH＝√2，OM＝2，∠HOM＝45ﾟ だから、中心がOで半径が 2 の円に内接する正方形KLMNを、

　LMの中点がHになるように描くことができます。

　また、正方形KLMN＝8 だから、△KHM＝△NHM＝2 になります。

　OS＝2 だから 点Sは正方形KLMNの円周上にあり、△SHM＝2 だから 点Sは直線KN上にあります。

　よって、点Sは K または M に一致する場合しかありません。

　よって、秒針と長針の角 ∠MOS＝180ﾟ，90ﾟ で、90ﾟ の整数倍です。

　０時から短針の進んだ角をθとすれば、長針は12倍の 12θ，秒針は更に60倍の 720θ だから、

　11θ は 45ﾟ の整数倍，708θ は 90ﾟ の整数倍です。

　よって、θ＝3･708θ−193･11θ も 45ﾟ の整数倍です。

　短針が 45ﾟ 進むのは 1時間30分ですので、

　0時00分，1時30分，3時00分，4時30分，6時00分，7時30分，9時00分，10時30分 のうち、

　短針と長針の作る角が 45ﾟ になる時刻を考え、4時30分，7時30分 です。

*これはよく分からないまま…

式を解かせただけで自動的に出て来てしまったって感じで…^^;

[解答2]はお気に入り☆ …熟読玩味ぃ〜^^

x時y分z秒…時/分/秒針の順番...
6y+z/60-(30x+y/2+z/120)=45, 0<=x<12, 0<=y<60, 0<=z<60
x=4,y=30,z=0 4時30分00秒...この鏡像は…分/時/秒針の順番...
12-(4時30分)=7時30分00秒...
と自動的に決まってしまいますが…^^;…?
これで条件を満たしているのかどうか…^^;…

立式…
6z-(30*4+30/2+z/120)=135, 6z-(6*30+z/60)=90, 0<=z<60
を満たしていない…?…

光の絨毯...

ちょっと前の夕刻、階段の壁にこの光のシルエットが♪

窓の外には今まさのsunset☆

ゴッホチックに写メれた ^^v

7247：頭の推理...

問題7247・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/chonanmon/ より 引用 Orz〜

１、２、３、４、５、６、７、８、９の９枚のカードを

Aさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさんの４人に２枚ずつ配布し、それぞれのカードの数字を当てるゲームをしました。

Ａさん、Ｂさん、C.さん、Ｄさんの４人の発言は以下のようでした。

Ａ：私のカードは、２枚とも偶数でした。

Ｂ：私のカードは、大きい数を小さい数でわったとき、あまりが1になりました。

Ｃ：私のカードは、２枚を足したとき、２けたの偶数になり、

　　大きい数から小さい数をひいたとき、小さい数と同じになりました。

Ｄ：私のカ−ドは、２枚を掛けたとき、1けたの数になり、２枚を足したとき、２けたの数になりました。

このとき、次の□にあてはまる数や記号を入れてください。

（１）Aさんのカードは□と□です。

（２）２枚とも奇数であるのは□さんと□さんです。

（３）２枚のカードを足したときの数が最も大きかったのは□さんです。

（４）Dさんのカードは□と□です。

（５）あまった１枚のカードは□です。

（立教女学院中学　２００９年）

解答

・わたしの…

D…1,9

C…4,8 

A…2,6

B…3,7

あとは出せますね ^^

Good night ~O~rzzz...