アットランダム≒ブリコラージュ

7165：円錐の表面積と体積...

問題7165・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34137851.html より Orz〜

表面積が 7200π である直円錐の体積 V の最大値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34160352.html より Orz〜

[解答1]

　底面の半径を r，高さを h，母線の長さをL とすれば、表面積は πLr＋πr²＝7200π 、

　V＝(1/3)πr²h だから、

　V²＝(1/9)π²r⁴h²＝(1/9)π²r⁴(L²−r²)＝(1/9)r²(πLr＋πr²)(πLr−πr²)

　 ＝(1/9)r²(7200π)(7200π−2πr²)＝1600π²r²(3600−r²)＝−1600π²r²(r²−3600)

　 ＝−1600π²(r²−1800)²＋1600π²･1800²

　よって、r²＝1800 のとき、πr²＝1800π だから 底面積＜表面積/2 が成り立って、 

　V の最大値は 40π･1800＝72000π です。


[解答2]

　底面の半径を r，高さを h，母線の長さをL とすれば、表面積は πLr＋πr²＝7200π です。

　V＝(1/3)πr²h だから、

　V²＝(1/9)π²r⁴h²＝(1/9)π²r⁴(L²−r²)＝(1/9)r²(πLr＋πr²)(πLr−πr²)

　 ＝(1/9)r²(7200π)(7200π−2πr²)＝1600π²r²(3600−r²)

　V＝40π√{r²(3600−r²)} 、

　相加･相乗平均の関係により、√{r²(3600−r²)}≦{r²＋(3600−r²)}/2＝1800 だから、

　V≦40π･1800＝72000π です。

　等号は r²＝3600−r² 、r＝30√2 のときに成り立つので、

　V の最大値は 72000π です。

*わたしゃ...[解答1]の平方完成の方でしたぁ ^^

円錐の母線の長さ=R,底円の半径=r
高さ=√(R^2-r^2)
V=(π/3)*r^2*√(R^2-r^2)
π*r*(R+r)=7200*π

r^4*(R^2-r^2)=r(R+r)*r^3*(R-r)=7200*r^3*(R-r)
r^3*(R-r)=r^3*((7200-r^2)/r-r)=7200*r^2-2r^4
=-2*(r^2-1800)^2+1800^2*2
r^2=1800 のとき、Max r^3*(R-r)=1800^2*2

けっきょく…
Max V=(π/3)*√(7200*1800^2*2)
=(π/3)*1800*120
=72000*π

7164：隣り合う数の差の和が最大になる数の並び方...

問題7163(鍵コメT様からの提示問)

2以上の自然数nが与えられたとき、

1からnまでの自然数n個を勝手に並びかえた順列

P=(p1,p2,……..,pn)に対して

a(P)=|p2-p1|+|p3-p2|+……..|pn-p(n-1)| とおくとき，

nを固定すれば，a(P)の最大値は，

nが偶数のとき，n=2mとして，最大値2m^2-1，
nが奇数のとき，n=2m+1として，最大値2m^2+2m-1です．

(*問題7160 http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/47951358.html 参照 Orz)

では，nを固定したとき，a(P)が最大となるPの個数はいくつでしょうか．
(偶数，奇数に分けて，mで表してください．) 

解答

・わたしの…

・n=2m の場合…

真ん中の間隔1を飛び越した次の点(m+1番目の点)までの取り方…は…

片側に、m-1個あり、その後は、そこから残ってる最遠点同士を結んで行けば1通りに決まるので…

左右対称性から…2(m-1)=2m-2 通り

これは、元の逆順だけある...

ただし…

m+1=2…m=1のときは…2通り

・n=2m+1の場合…

同様に考えて…片側の(2m+1-3)/2=m-1個からm+2番目の点まで結んで、あとは同じように最遠点まで結んで行けば1通りに決まるので…やはり…左右対称性から…2(m-1)=2m-2 通り

これらの逆順も左右対称にあるので…4m-4通り

ただし…

m+2=3…m=1のときは…4通り

かな ?…^^

↑

じぇんじぇん駄目駄目でしたぁ…^^;

↓

・鍵コメT様からの大ヒント♪

たとえばn=5のとき，m=2，a(P)の最大値は2*2^2+2*2-1=11であり，
11を与えるPは，
3,1,5,2,4/3,2,5,1,4/3,4,1,5,2/3,5,1,4,2とその逆順(8通り)です．

また，n=6のとき，m=3，a(P)の最大値は2*3^2-1=17であり，
17を与えるPは，
3,5,1,6,2,4/3,5,2,6,1,4/3,6,1,5,2,4/3,6,2,5,1,4とその逆順(8通り)です．

ちょっとヒントが過ぎるかもしれませんが，
n=7,m=3に対しては，最大値を与えるPは48通り，
n=8,m=4に対しては，最大値を与えるPは72通り，
n=9,m=4に対しては，最大値を与えるPは576通り，
n=10,m=5に対しては，最大値を与えるPは1152通りあります．

*我考えるゆえに我あるらし…?

法則は見つけられたかも…?
n=5,m=2…2*2!*1!*2=8
n=6,m=3…(2!)^2*2=8
n=7,m=3…2*3!*2!*2=48
n=8,m=4…(3!)^2*2=72
n=9,m=4…2*4!*3!*2=576
n=10,m=5…(4!)^2*2=1152

つまり…
n=2mのとき…((m-1)!)^2*2
n=2m+1のとき…2*m!*(m-1)!*2=4*m!*(m-1)!

になりそうも...その意味付けが今一わからない…^^;

・鍵コメT様の凄い発想☆

[7160]を振り返ってみると，nを固定して，a(P)を最大にするには，
・最初の数と最後の数の差も隣り合うものに含めてループを作るとき，
(n+1)/2より小さい数(S数と名付ける)はすべて，
両隣により大きい数が置かれ，
(n+1)/2より大きい数(L数と名付ける)はすべて，
両隣により小さい数が置かれること
・最初の数と最後の数は，差が1であること
の両方が成り立てばよいことになります．

nが偶数のとき，n個の数はn/2個のS数とn/2個のL数からなり，
ループは，S数とL数を交互に並べるしかありません．
さらに，ループを切断するところは，2数の差が1でないといけないので，
その両隣(つまり，Pの初項と末項)は，n/2 と n/2+1 に限ります．
n/2が初項の場合，Pの第(奇数)項はすべてS数，第(偶数)項はすべてL数であり，
初項と末項は決まっているので，Pの作り方は(n/2-1)!*(n/2-1)!通り．
n/2が末項の場合も同様なので，最大値を与えるPは，((n/2-1)!^2)*2通り，
すなわち2*((m-1)!^2)通りです．

nが奇数のとき，n個の数は(n-1)/2個のS数と(n-1)/2個のL数，および，
どちらでもない「(n+1)/2」(M数と名付ける)からなり，
ループは，M数の隣から順に，L,S,L,S,…のように並びます．
ループを切断するところは，M数の隣しかあり得ず，
Pは初項または末項にM数が入り，その隣から順に，LSLS…またはSLSL…となって，
一番最後は，M数に隣接するS数またはL数((n-1)/2または(n+3)/2)となります．
Pの作り方は，M数が初項か末項か(2通り)，その反対側の端の項はS数かL数か(2通り)，
残りのS数およびL数の並べ方(m!*(m-1)!)によって決まるので，
場合の数は，2*2*m!*(m-1)!=4*m!*(m-1)!通りです．

*熟読玩味ぃ…^^;v

・友人からのもの ^^

この解答[7160]を見ればPの個数は次のようになると思います。

n=2m　のとき　N(P)={(m-1)!}^2

n=2m+1　のときN(P)=(m-1)!m!

要するに両端を差が少ないまん中にもってきて、それ以外は前半と後半から

交互に適当に1つずつ取ってきて、上がり下がりにすればよい。

すべて係数が1の一次式だから、1か所でk多く取れば、別のところがk

少なくなり、両端は片方にしか関与しないから、まん中にとればよい。

*それらの逆があるから…

偶数は真ん中から数えてるから…x2

奇数は真ん中が2個あるから…x2^2 倍するべきですが…

友人からの回答は早かったぁ♪

友人からこれに絡んで考えたって問題が届きました☆

アップしますね ^^

7163：消費税upで表せない値段...

問題7163・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

ある国の消費税は、以下のような仕組みになっています。




・１０００円以下の商品は、マイナス２％（２％分を値引き）の消費税


・１０００円を超える商品は、１０００円についてマイナス２％の消費税、１０００円を超えた分についてプラス８％の消費税がかかる


・小数点以下の金額は、すべて切り捨て
　

たとえば、


・　８００円の商品は、８００×０.９８＝７８４円


・１１００円の商品は、１０００×０.９８＋１００×１.０８＝１０８８円


・１３２０円の商品は、１０００×０.９８＋３２０×１.０８＝１３２５.６なので、１３２５円
となります。
　

このとき、１円から２０００円までの金額のうち、消費税適用後の金額として、ありえないものはいくつあるか、求めてください。


解答

このあいだ類問解いたばっかりだったのに時間かかりましたぁ…^^;

上記サイトより Orz〜

・uchinyanさんのもの Orz〜

消費税適用前の金額で 1 円 〜 1000 円に対しては，1 円につき 1 円より少ない 0.98 円ずつ増えていくので，消費税適用後の金額で 0 円 〜 980 円のすべてを実現できます。1 円のものがタダというのはご愛嬌？ (^^

そこで，税率が 8 % の 2000 - 980 = 1020 円に関して考えれば十分です。

これは，100 円につき 108 円ずつ，つまり 25 円につき 27 円ずつ，増え，その後はこれを繰り返すので，

消費税適用後の金額で実現不可能な金額の個数は 27 円周期になっていると考えられます。

そこで，1 円 〜 27 円で実現不可能な金額を調べると，13 円と 26 円の 2 個。

1020 円の中には 27 円のかたまりが 1020/27 = 340/9 = 37 + 7/9 で 37 回あり，

38 回目は，27 * 37 = 999，999 + 13 = 1012< 1020，で 1012 円だけが実現不可能なので，結局，1 円 〜 2000 円 で消費税適用後にあり得ない金額は，

2 * 37 + 1 = 75 個

になります。

・わたしの…

やっとこさ…^^;

1000*0.98=980

2000-980=1020

1021/1.08=945…

1020-945=75

でしたか…^^;v