7167：残りの和を割ると1余る３個の自然数...

問題7167(友人問)

3つの自然数x,y,zについて

x+yをzで割ると1余り、

y+zをxで割ると1余り、

z+xをyで割ると1余る。

このとき、考えられる x,y,z の組をすべて求めよ。ただしx>=y>=z

解答

けっきょく分からず…^^;

・友人からのもの…

x>=y>=z より、２x＞＝y＋zで、x,y,zのすべてが等しいわけでないことは明らかだから、

y+zをxで割った商は1である。

よって、y+z=x+1・・・(1)

次に、z+xをyで割ることを考える。

(1)より、z+x=y+2z-1<=3y-1だから、これをyで割った商は1か2である。

(i) 商が1のとき、y+2z-1=y+1より z=1 となり、ありえない。

(ii) 商が2のとき、y+2z-1=2y+1より、

y=2z-2, これを(1)に代入・整理すると、

x=3z-3 そこで x+y=5z-5

これをzで割った余りが1だから、x+y-1 つまり 5z-6 はzで割りきれる。

そこで zは6の約数で、z=2,3,6

このとき、(x,y,z)の組はzの値に応じて、

(x,y,z)=(3, 2, 2), (6, 4, 3), (15, 10, 6)

以上より答は上の３通り。

*熟読玩味ぃ〜☆