アットランダム≒ブリコラージュ

7738：余り…3^2014≡？ (mod 30)

先日そらまち方面を初めて散策...☆

問題7738・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/2014/08/post-92bc.html ;

より 引用 Orz〜

３を２０１４回かけた数を３０で割ったら余りはいくつ？

（鴎友学園女子中学　２０１４年）

3^2013の mod 10 と同じ…

3^4≡1

2013/4=503…1

よって…3

^^

↑

間違ってる…^^; Orz〜

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

3^2013≡3 (mod 10) は正しいですが，
そこから得られる結論は，
3^2014≡9 (mod 30)，すなわち，余りは9です．

*わたしの盲点がまた一つポロリ…^^;v

やっと背中が見えて来た…かな ?…^^

右下隅の劫(コウ)を解消したのは言うまでもありません ^^…

右上は白に連打されましたがことなきを得ました♪

ご近所さんとの恒例の囲碁ミュニケーション♪

暫く打ち込まれてたんだけど…

先番(黒ね ^^)で…3-2まで辿り着けるようになって来た ^^

今月、医師会の囲碁大会夏の陣があるのよ…

また、某所からの朝帰りのまま駆けつけ参じなきゃ行けない...のが…

幹事の辛さ…^^;

今回は、優勝カップに名を連ねたいと公言して憚りましぇん☆

うな重…^^

夏ももうじき終焉を迎えそうで寂しい限りのわたし…

食べられるときに夏の食べ物のメニュー見つけたら食べちゃうぞぉ〜〜〜!!!

ってな気概で突き進んじゃう ^^

初めてお邪魔したところで…

こいつをオーダー☆

やはり…養殖物だってね…どうしても肉質が柔らかすぎちゃうのよね…Orz

天然物は品薄で...中国からの代用されてた某美味しい所も…

閉店されたと聞き及んだ…

ふぐ料理の「わかな」といい...バブリーな値段設定だったお店は苦境なのねぇ...

そりゃさすがに...これ以上の値段で提供するのは忍びないし…

そもそも食としてリスキーなものは出せませんやねってなことが理由だと信じたい…

いままで、プリプリの上手いウナギをわんさか食べさせて頂きましたこと…

ここに衷心より感謝申し上げます〜m(_ _)m〜

7737：k/6の和が整数になる項の数列...

問題7737・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34703920.html より Orz〜

　‖1/6，2/6，3/6‖4/6，5/6，6/6，7/6，8/6‖9/6，10/6，11/6‖12/6‖13/6，14/6，15/6‖16/6，……

　は、(自然数)/6 の形の数を小さい順に並べたものに対して、

　1/6 の手前にまず「‖」を入れ、1/6 からの和が初めて自然数になる 3/6 の後に「‖」を入れ、

　「‖」の次の数からの和が初めて自然数になる数の後に「‖」を入れ、…… 

　を繰り返したもので、「‖」の間の和は順に 1，5，5，2，7，…… となります。

　この自然数の並びを数列と見なすとき、初項から第32項までの最大の値は？

　また、初項から第32項までの和は？

　ただし、「和」については、数が１個だけでも「和」と見なすことにします。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34729164.html より Orz〜

[解答1]

　‖1/6，2/6，3/6‖4/6，5/6，6/6，7/6，8/6‖9/6，10/6，11/6‖12/6‖ の 12個を１組とすれば、

　その和は 1，5，5，2 であり、

　次の ‖13/6，14/6，15/6‖16/6，……，23/6‖24/6‖　は それぞれの分数が２だけ大きいので、

　その和は 1＋2･3，5＋2･5，5＋2･3，2＋2 、すなわち 7，15，11，4 です。

　よって、k＝0，1，2，…… として、 1＋6k，5＋10k，5＋6k，2＋2k が続くことになり、

　初項から第32項まででは k＝0，1，2，……，7 なので、最大の数は 5＋10･7＝75 です。

　また、４項の和は (1＋6k)＋(5＋10k)＋(5＋6k)＋(2＋2k)＝13＋24k なので、

　初項から第32項までの和は 13･8＋24(0＋1＋2＋……＋7)＝776 です。


[解答2]

　まず、1/6＋2/6＋3/6＋……＋N/6＝N(N＋1)/12 になります。

　N(N＋1)/12 が自然数になるのは、次の２つの場合です。

　N，N＋1 のいずれかが 3の奇数倍で他方が4の倍数( N≡3 (mod 12) または N＋1≡9 (mod 12) ) ，

　N，N＋1 のいずれかが 12の倍数の場合( N≡0 (mod 12) または N＋1≡0 (mod 12) ) ．

　自然数 k を用いて、前者は n＝12k−9，n＝12k−4 、後者は n＝12k−1，n＝12k の形で表されます。

　また、N(N＋1)/12 の直前に自然数になるものを n(n＋1)/12 として差をとれば、

　N(N＋1)/12−n(n＋1)/12＝(N−n)(N＋n＋1)/12 です。

　N＝12k−9，n＝12(k−1) のとき (N−n)(N＋n＋1)/12＝3(24k−20)/12＝6k−5 、

　N＝12k−4，n＝12k−9 のとき (N−n)(N＋n＋1)/12＝5(24k−12)/12＝10k−5 、

　N＝12k−1，n＝12k−4 のとき (N−n)(N＋n＋1)/12＝3(24k−4)/12＝6k−1 、

　N＝12k，n＝12k−1 のとき (N−n)(N＋n＋1)/12＝1･24k/12＝2k です。

　(6k−5，10k−5，6k−1，2k) に、k＝1，2，3，4，…… と代入したものが求める数列で、

　(1，5，5，2)，(7，15，11，4)，(13，25，17，6)，(19，35，23，8)，…… が得られます。

　第32項までの最大の値は k＝8 のときの 10k−5 で、10k−5＝75 です。

　また、第32項までの和は k＝8，N＝12k＝96 のときの N(N＋1)/12 で、N(N＋1)/12＝776 です。


[参考]

　この数列の第ｎ項は {3−iⁿ−(−i)ⁿ}{6n＋iⁿ⁺¹＋(−i)ⁿ⁺¹}/12 で表されます。 

　第30項は {3−i³⁰−(−i)³⁰}{6･30＋i³¹＋(−i)³¹}/12＝(3＋1＋1)(180−i＋i)/12＝75 です。 

*[解法1]が自然な発想でしたねぇ♪

わたしゃ…[解法2]のようなことで書き出すという手法しか思いつけず…^^;

n(n+1) が12の倍数になる場合(小さい方をnとして)を数え上げましたぁ…^^;....
(n,合計,差)=(3,1,1),(8,6,5),(11,11,5),(12,13,2),(15,20,7),(20,35,15),(23,46,11),(24,50,4),

(27,63,13),(32,88,25),(35,105,23),(36,111,6),(39,130,19),(44,165,35),(47,188,23),

(48,196,8),(51,221,25),(57,266,45),(59,295,29),(60,305,10),(63,336,31),(68,391,55),

(71,426,35),(72,438,12),(75,475,37),(80,540,65),(83,581,41),(84,595,14),(87,638,43),

(92,713,75),(95,760,47),(96,776,16)

けっきょく…32項までの和=776, それまでの項の最大=75
(このとき…(88+89+90+91+92)/6=75)

・友人のもの…

4番目で12/6と1個になっている。だから、余りが0になったようなもので、

12/6=2づつ増えるのを除けば（合同式のように）、4つの群の繰り返しになる。

よって、32/4=8群あり、2番目が5項で多いから、最大値は5+2*5*7=75

第1群の和は13だから32項までの和は13+7*24=776

*すぐ解読できなかったりする…^^;

度付きサングラスを作ってみた…^^

一つ前のが紛失しちゃってたもので…

わたしゃ、何でもすぐ無くしちゃう…^^;

眩しい夏にゃきっと遊ぶに違いないという思惑もあり…

作っちゃう…♪

最初のイメージじゃなくなるのが不思議…

ほんとは…グラスがコバルトブルーのメタリックのものに仕様と企んでたんだのに…

いざ、お店で眺めてたら...どうもこのアンニュイな？...いま見るとトンボの目玉みたいだけど…^^;

気に入ってしまっての衝動買いだわね…^^;v

今日さっそくはめてみたけど…Good Job ☆

これで...忍者のように野山を駆け巡っちゃう!!

誰にも気付かれぬように…?

目玉隠して顔隠さず…ってか ^^;…

ならいっそ...フルフェースのグラサンにすりゃよかったって？

顔隠して体隠さず…

ステルスで身を包んじゃえば…天上からのGoogleならぬ神様の目から逃れられるやも知れん？...