アットランダム≒ブリコラージュ

7702：ルールに沿って1になるまで3で割れる回数…2桁の数...

問題7702・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっと入れましたぁ〜^^;v

面白い問題ね☆

7701：曼荼羅の円の面積...

問題7701・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34670072.html より Orz〜

　図のように、円に内接する同大の10個の円を、隣り合う円が外接するように描き、水色で塗ります。

　更に内側にこの10個の円のいずれにも外接する円を描き、

　その円に内接する同大の10個の円を、隣り合う円が外接するように描き、水色で塗ります。

　これを無限に繰り返すとき、水色の部分の面積は？

　ただし、最初のいちばん外側の最大の円の面積を 1 とします。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34693082.html より Orz〜

　問題では 10個の円を内接させますが、一般的にｎ個の円を内接させることにします。

　ｎ個の円の半径を r ，このｎ個の円のいずれにも外接する円の半径を R とすれば、r/(R＋r)＝sin(π/n) です。

　半径が R，R＋2r の円の間の部分の面積は π(R＋2r)²−πR²＝4πr(R＋r) 、

　この部分で、半径が r の ｎ個の水色の円が占める面積の割合は、

　nπr²/｛4πr(R＋r)｝＝nr/｛4(R＋r)｝＝(n/4)sin(π/n) です。

　これは、全体に対する水色の部分の割合にもなり、水色の面積の総和も、(n/4)sin(π/n) です。

　本問では n＝10 の場合で、

　http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/27490026.html より sin(π/10)＝(√5−1)/4 だから、

　(10/4)sin(π/10)＝(5/2)(√5−1)/4＝5(√5−1)/8＝0．772542…… です。

*わたしゃ何を血迷ってたのか…^^;

わけわからぬことをしてしまってましたぁ…

面積１の円の半径:x=1/√π
一番外側の小円の半径r1...2π*x+2π(x-2*r1)=40*r1
r1=√π/(10+π)
その内側の小円の半径r2=r1*(10-π)/(10+π)
つまり…一番外側の小円の面積=π^2/(10+π)^2=s なので…
内部までの和=s*(1+((10-π)/(10+π))^2+((10-π)/(10+π))^4+…)
=s*(1/(1-((10-π)/(10+π))^2)
=s*(10+π)^2/(40π)
けっきょく…
10*π^2/(10+π)^2*(10+π)^2/(40π)=π/4
=0.7853…

*最初の立式が怪しかったか…^^;;

7700：面積の二等分…正三角形３個...

問題7700・・・http://blogs.yahoo.co.jp/uyama_sensei/54401034.html より 引用 Orz〜

図において、三角形ＡＢＣ、三角形ＢＣＤ、三角形ＣＤＥはそれぞれ正三角形です。辺ＡＢを１：３の比に分ける点Ｐを通り、三角形ＡＢＣの面積を２等分する直線をひき、辺ＢＣ、辺ＤＥと交わった点をそれぞれＱ、Ｒとします。

[１] ＢＱとＱＣの長さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

[2014年．駒場東邦中１番(2)-1]

解答

・わたしの…

でいいはずと思うんだけど…結構ややこしぃ〜^^;…?