アットランダム≒ブリコラージュ

7791：糊しろ算...

問題7791・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

同じ大きさの小さい正方形の紙をはりあわせて大きい正方形を作ります。
小さい正方形の紙の1.辺の長さの１/８の長さをのりしろとして，
たて，よこ１２枚ずつ，全部で１４４枚の小さい正方形の紙をはりあわせます。

大きい正方形の面積は小さい正方形の面積の何倍ですか。

（桜蔭中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

糊付けは…縦横11カ所ずつ…

1/8 の2倍分短くなる…1/4

12^2/(12-(1/4)*11)^2

=12^2*4^2/37^2

=2304/1369

*奇麗な値じゃないなぁ…^^;...

7790：自然数の異なる分割のその項数の和...

問題7790・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34741615.html より Orz〜

　自然数 n を n 自身 または 後の数が前の数以下になるような自然数の和で表します。

　このときの全部の式の項の数の合計を f(n) とします。

　例えば n＝5 のとき、 5，4＋1，3＋2，3＋1＋1，2＋2＋1，2＋1＋1＋1，1＋1＋1＋1＋1 だから、

　f(5)＝1＋2＋2＋3＋3＋4＋5＝20 になります。

　f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝6，f(4)＝12，f(5)＝20，f(6)＝35，f(7)＝54，f(8)＝86，f(9)＝128，f(10)＝192，

　f(11)＝275，f(12)＝399 に続く f(13)＝？ ，f(14)＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34763379.html より Orz〜

　自然数 n を n 自身 または 後の数が前の数以下になるような自然数の和で表した式を

　単に「和が n になる式」ということにします。

　例えば 「和が 13 になる式」の例として、6＋5＋2 がありますが、●を使って

　　●●●●●●
　　●●●●●
　　●●

　と表し、左から●の個数を数えると、「和が 13 になる式」の 3＋3＋2＋2＋2＋1 が得られます。

　これは、6＋5＋2 の項の個数が、3＋3＋2＋2＋2＋1 の先頭の数であり、

　3＋3＋2＋2＋2＋1 の項の個数が、6＋5＋2 の先頭の数であることを示しています。

　よって、f(n) は「和が n になる式」全部の最初の項の総和 とも言えます。

　ここで、f_k(n) を

　「和が n になる式」のうち 最後の項が k 以上の自然数であるもの全部の最初の項の総和 とすれば、

　f₁(n)＝f(n) で、

　f_k(n) を求めるとき 最後が「＋k」で終わる式と それ以外の式に分けて考えれば、

　n＞k のとき f_k(n)＝f_k(n−k)＋f_k+1(n) になります。

　従って、

　n＞1 のとき f₁(n)＝f₁(n−1)＋f₂(n) 、

　すなわち、f(n)＝f(n−1)＋f₂(n) が得られます。

　n＞3 のとき n の代わりに n−2 にして両辺に −1 をかければ、

　−f(n−2)＝−f(n−3)−f₂(n−2) 、

　また、n＞2 のとき f₂(n)＝f₂(n−2)＋f₃(n)

　この３式を辺々加えて、簡単にすれば、

　n＞3 のとき f(n)＝f(n−1)＋f(n−2)−f(n−3)＋f₃(n) が得られます。

　n＞6 のとき n の代わりに n−3 にして両辺に −1 をかければ、

　−f(n−3)＝−f(n−4)−f(n−5)＋f(n−6)−f₃(n−3) 、

　また、n＞3 のとき f₃(n)＝f₃(n−3)＋f₄(n)

　この３式を辺々加えて、簡単にすれば、

　n＞6 のとき f(n)＝f(n−1)＋f(n−2)−f(n−4)−f(n−5)＋f(n−6)＋f₄(n) が得られます。

　この式変形は続けられますが、式が長くなるので、ここで打ち切って、

　「和が 13 になる式」のうち 最後の項が 4 以上の自然数であるものは、

　13，9＋4，8＋5，7＋6，5＋4＋4 だから、

　f₄(13)＝13＋9＋8＋7＋5＝42 、

　「和が 14 になる式」のうち 最後の項が 4 以上の自然数であるものは、

　14，10＋4，9＋5，8＋6，7＋7，6＋4＋4，5＋4＋4 だから、

　f₄(14)＝14＋10＋9＋8＋7＋6＋5＝59 、

　f(13)＝f(12)＋f(11)−f(9)−f(8)＋f(7)＋f₄(13)＝399＋275−128−86＋54＋42＝556 、

　f(14)＝f(13)＋f(12)−f(10)−f(9)＋f(8)＋f₄(14)＝556＋399−192−128＋86＋59＝780 です。


[参考] uch*n*anさんがプログラムで f(50) まで求めてくれました。

　1，3，6，12，20，35，54，86，128，192，
　275，399，556，780，1068，1463，1965，2644，3498，4630，
　6052，7899，10206，13174，16851，21522，27294，34545，43453，54563，
　68135，84927，105366，130462，160876，198014，242812，297201，362587，441546，
　536104，649791，785437，947812，1140945，1371173，1644136，1968379，2351597，2805218

*意味はわかるも...途中で断念…^^; 

考え方…途中までです…^^;
f(5)
00000
0…1
00…3-0,2-1…2*2
000…2-0,1-1…3*2
0000…4
00000…5
合計=1+2*2+3*2+4+5=20

f(6)
0…1
00…4-0,3-1,2-2…2*3
000…3-0,2-1,1-1-1…3*3
0000…2-0,1-1…4*2
00000…5
000000…6
合計=1+6+9+8+5+6=35
ってな計算でいいことまでは解読ぅ〜…^^;…

7789：場合の数...

問題7789・・・http://blogs.yahoo.co.jp/uyama_sensei/50684315.html より 引用 Orz〜

３×□＋２×△≦２００８　
　
となる、０以上の整数の組（□，△）は何個あるかな？

［2008年・名古屋大学改題］
［2010年6月22日・たけしのコマネチ大学数学科改題］

解答

・わたしの…

2008/2=1004

2008/3=669…1

2008/6=334…4

(1004+1)(669+1)/2+335=337010

^^

7788：計算...合同式...

問題7788・・・http://www.gifu-nct.ac.jp/sizen/okada/m_alacarte2.pdf より 引用 Orz〜

次の式を満たす最小の正整数 x を求めよ. 

2^2010 × 3^1867 ≡ x (mod 5) 

解答

・わたしの…

2^4≡1

2^2010≡2^2=4

3^4≡1

3^1867≡3^3=27≡2

与式≡4*2=8≡3

^^

7787：線分比…三角錐...

問題7787・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

上の各図は、ＡＢ=ＡＣかつBD=CDであり、△ＢＣＤを底面としたとき高さが４cmであるような三角すいＡＢＣＤを、いろいろな切り口で切断したところを表しています。

 

図１は、ＡＲ：ＲＤ＝２：５となるような点Ｒと辺ＢＣを通るように切断したところを表しています。

図２は、ＣＰ：ＰＤ＝３：２となるような辺ＣＤ上の点Ｐ、ＢＱ：ＱＤ＝３：２となるような辺ＢＤ上の点Ｑ、頂点Ａを通るように切断したところを表しています。

図３は、辺ＢＣの中点Ｍと辺ＡＤを通るように切断したところを表していて、ＡＭ＝５cm、ＭＤ＝１０cmとなりました。

 

いま、図１〜図３の３枚の切断面が、すべて通る点（共有点）をＸとします。

このとき、線分ＭＸの長さは辺ＡＤの長さの何倍であるかを求めてください。

解答

上記サイトより Orz〜

・ましゃさんのもの Orz〜

横からの断面図を平面図にして考えました。

二等辺三角形の重なった図形はなんか美しさを感じませんでしたか？

*わたしゃ...同じ図で...ピタゴラスと相似で…^^;

以下のような図になるわけね…

*もっと簡単に出せるのだろうけど…?...