アットランダム≒ブリコラージュ

7803：3点を通る円の半径...

問題7803・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

7802：N進数...

問題7802・・・http://blogs.yahoo.co.jp/uyama_sensei/53929344.html より 引用 Orz〜

■進数の［2014］を10進数にすると［4411］です。
■に入る数字はいくつかな？

[う山先生からの挑戦状]

解答

・わたしの…

2が4だから…4000/2*n^3=1くらいで…nは奇数...

2000=n^3

13^3=2197

11^3=1331

よって…

n=13

じっさいに…

2*13^3+13+4=4411

^^

7801：悲哀な現実…^^

問題7801・・・http://blogs.yahoo.co.jp/uyama_sensei/54017245.html より 引用 Orz〜

一郎、次郎、三郎、四郎の兄弟がＡ子、Ｂ子、Ｃ子、Ｄ子の姉妹と男女で組んでダンスをすることになった。

ア：各人とも、それぞれ踊りたい相手が１人ずついるが、
互いに踊りたいと思ってる男女の組は１組もいない。
イ：踊りたい相手は重複していない。
ウ：一郎の踊りたい女性が踊りたいのは、Ｄ子と踊りたい。
エ：次郎の踊りたい女性が踊りたいのは、Ｃ子と踊りたい。
オ：三郎の踊りたい女性は、四郎と踊りたい。
カ：Ａ子の踊りたい男性は、Ｂ子と踊りたい男性ではない。
キ：Ｂ子の踊りたい男性は次郎ではない。

以上から判断して、以下のことは正しいか、
正しくないか、判断不可能の３つのどれか？

「一郎はＡ子と踊りたい」　

[2003年．公務員試験・地方上級類改題] 

解答

・わたしの...

↑

どうもいい加減でした...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

ウ，エの表現は読みにくいですが，多分
ウ:「1→?→?→D」，エ:「2→?→?→C」という意味ですね．

すると，「A→1→B→3→C→4→D→2→A」は条件ウ，エ，カに合わず，
また「1→A→2→D→4→C→3→B→1」は条件オに合いません．

少し考えてみたのですが，条件に合うのは，
「1→A→2→D→3→C→4→B→1」
だけではないかと思います．
これが正しければ，「一郎はA子と踊りたい」は正しいことになります．

考察内容です．

条件ア，イから，全員が誰かに「踊りたい」と思われている．
また，「A→?→?→…」のように進めていくと，いずれはAに戻るが，
・8人全員を含むループができるか
・4人で1つのループができる(残りの4人は別のループを作る)か
のいずれか．

条件オから，三郎と四郎は同じループに属する．
よって，一郎と次郎は同じループに属するはず．
さらに条件ウ，エから，C子とD子は同じループに属する．…[1]
条件ア，カから，A子の踊りたい男性は，C子，D子のいずれかと踊りたい．
よって，A子はC子またはD子と同じループに属する．…[2]
[1],[2]より，A子，C子，D子は同じループに属し，結局ループは1つだけ．

3→?→4から，1→?→2→?→3→?→4→?→1または2→?→1→?→3→?→4→?→2．
条件ウ，エから，
前者は1→?→2→D→3→C→4→?→1，後者は2→?→1→C→3→D→4→?→2となり，
さらに条件カから，
1→A→2→D→3→C→4→B→1または2→A→1→C→3→D→4→B→2となるが，
後者は条件キに反する．

例えばキの条件「Bの踊りたい男性は次郎ではない」は，
「次郎の踊りたい女性はBではない」とはまったくの別内容です．
条件を満たすようにループを描いたとして，
向きを逆にした場合に条件を満たすかどうかは何とも言えませんね．

*複雑な問題あるね ^^;...

7800：菱形の面積...

問題7800・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34748922.html より Orz〜

　１辺の長さが 41 で、対角線の長さの差が 60 の菱形の面積を S とするとき、S＝？

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

算数でも解けるのねぇ☆

オイラーの定理…a^φ(n)≡1 (mod n)

自分で言うのもなんですが ^^;…

この欄に訪問するのは超お久…Orz〜

知らぬ間に...最初の勉強しようとしてたサイトが消えている…^^;;…

と思ったら…ありましたぁ☆

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/suuron.html

今回は…別のところから…^^

http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/euler.pdf より 引用 Orz〜

「定義 1 

自然数 n に対して,n 以下の自然数で n との最大公約数が 1 であるものの個数を φ(n) で表す.

φはオイラー関数と呼ばれる. 

(*オイラーの φ 関数（ファイかんすう、phi function）)

(*オイラーのトーシェント関数（Euler's totient function）)

φ(1) = 1

である。

定理 3 

p^n と互いに素でないそれ以下の自然数は p^(n−1) 個ある

[証明]

p^n と互いに素でない自然数は p*x とかける. 

x は 1 ≤ x ≤ pn−1 の全ての自然数の値を取り得,

なおかつそのどの x についても p*x が重複することはない(つまり p の倍数).

よってその個数は p^(n−1) である.　[証明おわり]

定理 4 

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーのφ関数 より Orz〜

φ(n)の最初の1000個の値

定理 8    (オイラーの定理)

自然数 n と互いに素である自然数 a について,

が成り立つ.

[証明] 

n 以下の自然数で n と互いに素な数を

r1,r2,r3,··· ,rφ(n)　　　　　　 (1) 

と表す.これらに,n と互いに素である自然数 a をかけた数,

ar1, ar2, ar3, · · · , arφ(n) 　　　(2) 

を考える.これらも全て n と互いに素である.

また,i̸=j=⇒ari

である.なぜならば,もし ari ≡ arj とすると,a(ri − rj) ≡ 0 つまり ri − rj は n で割り切れ,ri ≡ rj となってしまい,仮定と矛盾する.つまり (2) の各数は (1) のどれか一つと合同になり,なおかつ重複することはない.したがってこれらをすべててかけ合わせたものも合同になる.すなわち,

aφ(n)r1r2r3 ···rφ(n) ≡ r1r2r3 ···rφ(n) ( mod n )

よって

 aφ(n) ≡ 1

この定理の特殊な場合が次の定理である.

定理 9 (フェルマーの小定理)

p の倍数でない自然数 a について,

が成り立つ.

これらの定理は a が正の整数として証明したが,整数全体に拡張してもよい. 

問題 4 

2009^2009 の下 3 桁を求めよ.

[解]

φ(1000) = φ(2^3*5^3)
= 2^2*5^2*(2−1)(5−1) = 400

2009^2009 ≡ 9^2009 ( mod 1000) 

≡ 9^(400×5+9)

≡ 9^9
≡ (81^2)^2 × 9

≡ 561^2 × 9 

≡721×9

≡489··(·こたえ)

*こういう問題が解ける武器になるのって偉大だわ☆

これらの定理は n を法として 1 を得る最小の冪を与えるものではないことを注意しなければならない.たとえば

p = 7, a = 4

とすると,フェルマーの小定理は

4^6≡1 (mod7) 

となることを主張しているわけだが,

4^3=64≡1 (mod7)

なので 6 より小さい冪 3 で既に 1 に合同になっている.この小さい冪というのは必ず p − 1 の約数になっている.しかしながら,p の倍数で無いあらゆる整数 a について 1 と合同になる最小の冪は p − 1 である.これらの証明はここでは記述しない.　[証明おわり] 　」

*たとえば…4^6≡1 (mod 7)

ならば…6の約数である 1,2,3で…4^1≡±1, 4^2≡1, 4^3≡±1　でなければならないものねぇ ^^…じっさいは…4, 4^2 は違うわけだけど…

素数pのとき、p-1は偶数なので、a^{(p-1)/2}≡±1 であることは言えますね ^^