アットランダム≒ブリコラージュ

7828：頭の回転...

問題7828・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

１辺が２ｃｍの正三角形の周りを、１辺が１ｃｍの正五角形が、スタート位置からすべることなく時計回りに転がって回り続けます。

１回転がることを「１転」と呼ぶことにします。

１転、２転した時、図のようになります。

このようにして「1998転」したとき、正五角形はどの位置にあって、「５」の字はどのような向きになっていますか？

（第２回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

５回転で元の位置に戻り、△1周は6回転…

1998/6=333 なので…△の底辺の左

1998/5=399…3 なので...北東を向いている…^^

↑

またおかしかったです…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

正三角形のどの部分とくっついているかが，「6転」で元にもどるので，
1998転すると，元の位置に戻っているはずです．
正五角形のどの辺が正三角形とくっついているかが，「5転」で元にもどるので，
1998転すると，3転したときと同じで，数字「5」の左上方向の辺が
正三角形とくっついています．

*たしかに…スタート位置が0=6の位置でしたわ…^^;v

けっきょく...↓のような図になるわけね Orz〜

7827：割り算…商の桁数と1の位の数字...

夕景…

真ん中の蜘蛛を被写体にしたんだけど…ピンボケてた…^^;

問題7827(友人問)

10^210/(10^10+3)の整数部分の桁数と、1の位の数字を求めよ。

ただし、3^21=10460353203　を用いてよい。

解答

・わたしの…

10^210/(10^10+3)=商m+小数s

10^210=(10^10)^21

なので…10^(210/10)=21>m>10^(210/11)=19.09…

から、10^20だから…21桁

(10^10+3)^21=10^210+Σ21Ck*10^(21-k)*3^k+3^21

10^210=(10^10+3)^21-Σ[1<=k<=20]21Ck*10^(21-k)*3^k-3^21

             =(10^10+3)*(m+k)

10^10+3 は11桁

3^21=10460353203

3^21/(10^10+3)=1.04...

3^20=10460353203/3=3486784401

101-1.04…=99.96…

から…1の位は9 

ってな感じでいいのかいなぁ…^^;…?

↑

また嘘ってましたぁ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(10^210)/(10^10)=10^200,(10^210)/(10^11)=10^199 であり，
(10^210)/(10^10+3) は，これらの間の数だから，整数部分は200桁です．

一の位ですが，10^10=a,3=bとして，

(10^210)/(10^10+3)=(a^21)/(a+b)=(a^21+b^21)/(a+b)-(b^21)/(a+b)
です．
(a^21+b^21)/(a+b)は整数であり，　←ここが巧いなぁ♪

b^21はa+bより少し大きいことが問題文に与えられているので，
求める一の位は，(a^21+b^21)/(a+b)-2の一の位と一致します．
(a^21+b^21)/(a+b)=a^20-a^19*b+a^18*b^2-a^17*b^3+…+b^20で，
最後の項以外は10の倍数だから，
b^20-2，つまり3^20-2=81^5-2の一の位を求めればよいです． 
もちろん9となりますね．

*ずいぶん考えたんだけどなぁ…(刑事物のテレビがたまたま面白かったものでそいつを観ながら族ですけど…^^)…で、やっと解けたと思うもこんな華麗な方法があったのねぇ…^^;;

お気に入り☆

7826：累乗和の約数...

倉敷美観地区のブランチタイム頃…^^

問題7826(創作問 …かな…?...^^;)

k を自然数とするとき、

1^(2k-1)+2^(2k-1)+…+(2k-1)^(2k-1)

は、k*(2k-1)^2を約数に持つことを証明せよ。

(k=0 のときは…約数が0になるので駄目ですね…Orz)

解答

・想定解…^^

たとえば…

1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+6^7+7^7

≡(4-3)^7+(4-2)^7+(4-1)^7+4^7+(4+1)^7+(4+2)^7+(4+3)^7

≡0　mod 4

また、

与式

≡(7+1)^7+(7+2)^7+(7+3)^7+(7-3)^7+(7-2)^7+(7-3)^7+7^7

≡7C2*(1^2+2^2+3^2)*2+7^7

=7*6*(3*4*7)/6+7^7

≡0　mod 7^2

は…一般の 奇数 2k-1でも言える ^^