アットランダム≒ブリコラージュ

7714：それぞれ2個の3と8で24を作る...

問題7714・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

３が２つ、８が２つ、全部で４つの数字があります。

＋、−、×、÷、（　）だけを使って、２４になる式を作ってください。

解答

・わたしの…

やっと閃きましたぁ ^^

8/(3-8/3))=24

♪

7713：各桁の数字の積...

問題7713・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

下の例のように､ある整数のすべての位の数をかけ合わせて、

その答えが１けたの数になるまで繰り返します。

例　６７→６×７＝４２→４×２＝８

最後の答えが６になる２けたの整数は何個あるでしょうか？

（洗足学園中学　２００９年）

解答

・わたしの…

6=1*6…16,44,28,82,61

6=2*3…23,32,48,84

以上で…9個

^^

↑

迂闊でした…^^;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

直接6になる，言わば1代目は，16,23,32,61.

2代目は，16ができる 28,44,82 と，32ができる 48,84.

3代目として，28ができる 47,74 と，48ができる 68,86.

4代目はなく，以上の13個です． 

7712：約数の和...

問題7712・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34689980.html より Orz〜

　ある自然数の正の約数のうち、

　偶数のものの総和が 248248，３の倍数のものの総和が 245520 のとき、

　この自然数は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34711717.html より Orz〜

　一般に、自然数 n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

　また、求める自然数を n＝2^a･3^b･m (m と 6 は互いに素) とし、

　A＝S(2^a)＝2^a+1−1 ，B＝S(3^b)＝(3^b+1−1)/2 とします。

　(A−1)B･S(m)＝{(A−1)/A}･AB･S(m)＝248248 ，A(B−1)･S(m)＝{(B−1)/B}･AB･S(m)＝245520 より

　(A−1)/A：(B−1)/B＝248248：245520＝91：90 、90(A−1)/A＝91(B−1)/B 、

　90(A−1)B＝91(B−1)A 、−AB＋91A−90B＝0 、(A＋90)(91−B)＝8190 、(A＋90)(182−2B)＝16380 、

　A＝2^a+1−1 ，B＝(3^b+1−1)/2 だから、(2^a+1＋89)(183−3^b+1)＝16380 、(2^a+1＋89)(61−3^b)＝5460 、

　61−3^b は 5460＝2²･3･5･7･13 の正の約数だから、

　61−3¹＝58 ，61−3²＝52 ，61−3³＝34 のうち、61−3²＝52 だけで、b＝2 です。

　よって、2^a+1＋89＝105 、2^a+1＝16 、a＝3 、A＝15，B＝13 です。

　(A−1)B･S(m)＝248248 、14･13･S(m)＝248248 、S(m)＝1364＝2²･11･31 です。

　ここで、p を５以上の素数として、

　1364 の約数 1，2，4，11，22，31，44，62，124，341，682，1364 のうち、

　1＋p＋p²＋……＋p^k の形で表されるのは、31＝1＋5＋5² ，44＝1＋43 ，62＝1＋61 だけですので、

　m＝5²･43 のときの S(m)＝31･44＝1364 だけが適します。

　従って、n＝2^a･3^b･m＝2³･3²･5²･43＝77400 です。

*これだけの条件で一意に求まるのが不思議…^^;

こういうのは好きなんだけど…
真っ当な方法わからず…試行錯誤に近いものですが…^^;;
248248=2*(2^a-1)*m
124124=2^2*7*11*13*31=(2^a-1)*m
2^a-1=1 or 7 or 31…2 or 2^3 or 2^5
13=1+3+3^2

245520=3*(3^b-1)/2 *m
81840*2=2^5*3*5*11*31=(3^b-1)*m
3^b-1=2, 2^3, 2^4*5…3 or 3^2 or 3^4
3*5=1+2+2^2+2^3

2^3*3^2=15*13*m
14*13*m=248248…m=1364
15*12*m=245520…m=1364・・・ビンゴ ^^
1364=2^2*11*31
31=1+5+5^2
44=1+43
2^3*3^2*5^2*43=77400