7724：3つの袋の中がすべて奇数個の玉の入れ方...

問題7724・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34695844.html  より Orz〜

　赤・青・紫の袋が１つずつと黒の碁石60個があります。

　このとき、どの袋にも奇数個の碁石を入っているようにする方法は何通り？

　ただし、碁石が余ってもよいものとし、袋の中に袋を入れても良いものとします。

　例えば、赤の袋に３個、青の袋に６個、紫の袋に７個を入れて、更に、赤の袋を青の袋に入れると、

　赤の袋に３個、青の袋に９個、紫の袋に７個が入っていることになり、条件に合います。

　また、袋は十分に大きいものとします。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34718164.html より Orz〜

[解答1]

　図Ａのような場合、

　 最初に各袋に１個ずつ入れておいて、残り57個を偶数個ずつ入れる場合の数を求めます。

　 1●●2●●3●………●27●●28●●29● の 1〜29 から重複を許して３個を選び、

　 そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

　 最初の区切りの左の碁石を赤の袋，最初と２番目の区切り間の碁石を青の袋，

　 ２番目と３番目の区切りの間の碁石を紫の袋に入れます。

　 その方法は、₂₉Ｈ₃ 通りあります。

　図Ｂのような場合、外の袋の色の決め方が ３通り、残り57個を、

　 1●●2●●3●………●27●●28●●29● の 1〜29 から重複を許して３個を選び、

　 そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

　 その方法は、3･₂₉Ｈ₃ 通りあります。

　図Ｃのような場合、外の袋・内の袋の色の決め方が ６通り、残り58個を、

　 1●●2●●3●………●27●●28●●29●●30 の 1〜30 から重複を許して３個を選び、

　 そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

　 その方法は、6･₃₀Ｈ₃ 通りあります。

　図Ｄのような場合、外の袋・中の袋・内の袋の色の決め方が ６通り、残り59個を、

　 1●●2●●3●………●27●●28●●29●●30● の 1〜30 から重複を許して３個を選び、

　 そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

　 その方法は、6･₃₀Ｈ₃ 通りあります。

　従って、(1＋3)･₂₉Ｈ₃＋(6＋6)･₃₀Ｈ₃

　 ＝4･4495＋12･4960＝77500 通りです。


[解答2]

　一般に、x＋y＋z≦n をみたす 0以上の整数の組は、0○1○2○3○4○………○n の 0〜n から

　重複を許して３個の区切りを選び、最初の区切りの左の○の数を x ，最初と２番目の区切り間の○の数を y ，

　２番目と３番目の区切りの間の○の数を z とすればよいので、_n+1Ｈ₃ 通りあります。

　袋の中に袋を入れない状態で、赤の袋にｘ個、青の袋にｙ個、紫の袋にｚ個を入れるものとすれば、

　x＋y＋z≦60 を満たし、₆₁Ｈ₃＝39711 通りあります。

　そのうち、x，y，z がすべて偶数であるものは、x＝2a，y＝2b，z＝2c とすれば、

　2a＋2b＋2c≦60 、 a＋b＋c≦30 、₃₁Ｈ₃＝5456 通りです。

　また、x，y，z がすべて奇数であるものは、x＝2a＋1，y＝2b＋1，z＝2c＋1 とすれば、

　2a＋1＋2b＋1＋2c＋1≦60 、 a＋b＋c≦28 、₂₉Ｈ₃＝4495 通りです。

　よって、x，y，z に偶数も奇数も含まれているのは 39711−5456−4495＝29760 通りです。

　３個の袋とも奇数個の碁石が入っているときは、

　図Ａまたは図Ｂで、図Ｂで外の袋の色の決め方も考え ４通りずつ、

　１個の袋だけに偶数個の碁石が入っているときは、図Ｃで内の袋の色の決め方も考え ２通りずつ、

　１個の袋だけに奇数個の碁石が入っているときは、図Ｄで外の袋の色の決め方も考え ２通りずつ、

　偶数個の碁石が入った袋も奇数個の碁石が入った袋もあるのは、いずれも ２通りずつです。

　もちろん、３個の袋とも偶数個の碁石が入っているときは条件に合わせることができません。

　よって、4･4495＋2･29760＝77500 通りです。

*これは面白い問題でしたのに...よく分からず…^^;

いい加減なことしか考えられませんでしたぁ…

熟読玩味ぃ〜☆

奇-偶偶奇・・・ (((奇)偶)偶)
奇-奇奇奇・・・(奇)(奇)(奇), ((奇)(奇)奇) 
偶-偶,偶,偶, ((奇)偶)(奇) なので…
3H60+3H59+…+3H0=62C2+61C2+…+2C2
=(1/2)*Σ[1~k~61] (k^2+k)
=61*62*123/12+61*62/4
=39711
偶偶偶=3H30+3H29+…+3H0=32C2+31C2+…+2C2
=(1/2)*Σ[1~k~31] (k^2+k)
=31*32*63/12+31*32/4
=5456
奇奇奇=3~59…111に2を加える…1~28個の2
=(1/2)*Σ[1~k~28] (k^2+k)
=28*29*57/12+28*29/4
=4060
39711-5456-4060=30195
30195+2*4060=38315
みたいに考えればいいと思うも...
おそらく...奇数、偶数が同じ数になる場合を引いて調節しなきゃならないのね…Time up …^^;…Orz…

*これまた嘘八百屋町でしたわぃ…^^;