アットランダム≒ブリコラージュ

7940：積を等しく...

錦秋…先取り ^^

問題7940・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

１〜９の整数のうちの７つを図の○の中に入れ、

直線で結ばれる３つの○の数の積を等しくなるようにしたとき、

？の中に入る数を求めなさい。

（２００５年算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

5,7 は1個しかないので無理…

1,2,3,2^2,2*3,2^3,3^2

1*2^3*3^2=72

2*2^2*3^2=72

3*2^2*2*3=72

2^2 と 3^2 が重複しているので…？=2

 1　　  3

｜        ｜

 9ー2ー4

｜　　｜

 8       6

^^

7939：条件を満たす三角形の最小面積...

問題7939・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34870605.html より Orz〜

　△ABCの辺ACの中点をMとします。

　３辺の長さが自然数で AB＝BM である最小面積の△ABCについて、AB，BC，CM の長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34892455.html より Orz〜

　AB＝BM＝a，BC＝b，CM＝c とすれば、AM＝c です。 ( a，b，2c は自然数です )

　△BCAで 中線定理より、a²＋b²＝2(a²＋c²) 、 b²＝a²＋2c² です。

　ここで、(2c)²/2＝(b＋a)(b−a) が整数ですので 2c は偶数、c は自然数です。

　また、b＋a，b−a は両方奇数か両方偶数で、(b＋a)(b−a)＝2c² なので、b＋a，b−a は両方偶数です。

　GCD(b＋a，b−a)＝2g とすれば b＋a＝2gp，b−a＝2gq (p，q は互いに素な自然数) と書けて、

　a＝g(p−q)，b＝g(p＋q)，2c²＝4g²pq になります。

　(c/g)²/2＝pq が自然数だから、c/g は偶数で、(c/g)²/2 も偶数です。

　p，q が互いに素であることを考慮すれば、p，q の一方が偶数で他方が奇数です。　

　pq/2＝{c/(2g)}² が平方数ですので、k，n を互いに素として、

　p が偶数であれば p＝2k²，q＝n² (n は奇数) と表され、

　 a＝g(2k²−n²)，b＝g(2k²＋n²)，c＝2gkn 、 a＋c＞b だから k＞n になります。

　 k＝m＋n とおけば、

　 a＝g(2m²＋4mn＋n²)，b＝g(2m²＋4mn＋3n²)，c＝2g(m＋n)n で、

　 このとき、a²−(c/2)²＝m(m＋2n)(2m＋n)(2m＋3n) です。

　q が偶数であれば p＝k²，q＝2n² (k は奇数) 、 

　 a＝g(k²−2n²)，b＝g(k²＋2n²)，c＝2gkn 、 a＋c＞b だから n＞2k になります。

　 k＝m＋2n とおけば、

　 a＝g(m²＋4mn＋2n²)，b＝g(m²＋4mn＋6n²)，c＝2g(m＋2n)n で、

　 このとき、a²−(c/2)²＝m(m＋n)(m＋3n)(m＋4n) です。

　まとめると、以下のとおりです。

　n は奇数，mとnは互いに素 として 

　 a＝g(2m²＋4mn＋n²)，b＝g(2m²＋4mn＋3n²)，c＝2g(m＋n)n，

　 △ABC＝2g²(m＋n)n√{m(m＋2n)(2m＋n)(2m＋3n)}

　m は奇数，mとnは互いに素として

　 a＝g(m²＋4mn＋2n²)，b＝g(m²＋4mn＋6n²)，c＝2g(m＋2n)n，

　 △ABC＝2g²(m＋2n)n√{m(m＋n)(m＋3n)(m＋4n)}

　△ABC を 最小にするのは、g＝m＝n＝1 のときで、

　前者では △ABC＝12√5 、後者では △ABC＝12√10 だから、

　前者の場合で、AB＝a＝7，BC＝b＝9，CM＝c＝4 です。

*なんとか解けましたぁ ^^;v

BC=a,AC=b,AB=c
c<b<a…a-c>=2
a+c>b

c^2=c^2+(b/2)^2-bc*cosA
cosA=x とすると…
b=4c*x
a^2=c^2+(b/2)^2+bc*x
=c^2+b^2/4+b^2/4
=c^2+b^2/2
2*(a+c)(a-c)=b^2
b=2t
(a+c)(a-c)=2t^2
a-c=2 のとき…
a+c=t^2
2a=t^2+2
2c=t^2-2
2<=b…3<=a
t は2より大きい偶数…
t=4…a=9=BC, c=7=AB, b=8=AC=2CM
つまり…
(AB,BC,CM)=(7, 9, 4)