2014年09月25日の記事一覧 - 詳細表示

7949：場合の数...チェス版の模様...

問題7949(友人問)

7*7のチェス盤の2つのマスを黄色で、他を緑で塗る。

チェス盤を平面上で回転して同じになるような模様を同一のものとして数えるとき、異なる模様は全部で何通りあるか。

解答

・わたしの…

↑

どうも間違ってる…^^;;…Orz～

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

結論は300通りだと思います．

以下の2通りの方法で解いてみました．

[前のコメントで示唆した方法](あまり得ではありませんでした)
A: 中央(1マス)，
B: 中央の左隣と左上隅を対角線の両端とするような長方形(12マス)，
C: Bを，中央を中心に90°時計回りに回転した長方形(12マス)，
D: Cを，中央を中心に90°時計回りに回転した長方形(12マス)，
E: Dを，中央を中心に90°時計回りに回転した長方形(12マス)
のように5区画に分ける．

(i)Aを黄色に塗るとき，もう1マスはB,C,D,Eのどれにあっても同じ．
Bとしてよいから，12通り．
Aは黄色に塗らないとき，残り4区画で，黄色に塗る2マスが，
(ii)同じ区画のとき，Bから2マスとしてよく，12C2=66(通り).
(iii)隣接する2区画に属するとき，B,Cから1マスずつとしてよく，12*12=144(通り).
(iv)隣接しない2区画に属するとき，B,Dから1マスずつとしてよい．
・中央に関して対称な2マスを選ぶ場合は，Bのマスを決めればよく，12通り．
・中央に関して対称でない2マスを選ぶ場合は12*12-12=132(通り)あるが，
これは，B,Dの区画を入れ替えた同じ塗り方を2重に数えているので132/2=66(通り).

以上より，
12+66+144+12+66=300(通り).

[同じ塗り方を何回数えたかを調べる方法]
49マスから2マスを選ぶ選び方の総数は，49C2=1176.

このうち，中央に関して対称な2マスを選ぶ選び方(Aタイプ)は，
中央以外の48マスを対称な2マスずつの24組に分け，組を選べばよく，24通り．
それ以外の選び方(Bタイプ)は，1176-24=1152(通り)である．

Aタイプは，その塗り方を90°回転した別の塗り方と同じとみなすので，
1つの塗り方を2回数えていることになる．
Bタイプは，その塗り方を90°,180°,270°回転した別の塗り方と同じとみなすので，
1つの塗り方を4回数えていることになる．
以上より，求める塗り方の数は，
24/2+1152/4=300(通り).

*後半のコカコーラのような解法に合点☆

またもや目からコンタクトがポロリン!! ^^

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7948：求積…正方形内の△...

問題7948・・・http://www.sansu.org/kakomon/toi134.html より引用 Orz～

図のような、一辺の長さが２５cmの正方形があり、点Ｐは辺ＤＣ上の点で、ＤＰ：ＰＣ＝１：３です。

また、図中の●、▲、■の印のついた角の大きさは等しくなっています。（※）

このとき、図の水色の部分の面積を求めてください。

解答

・わたしの…

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7947：確率...財布の忘れ物...

問題7947・・・http://www.sansu.org/kakomon/toi133.html より引用 Orz～

忘れっぽいマサル君は、３回に１回の確からしさ（※）で訪問先にサイフを忘れてくるそうです。

いま、マサル君がトモエさん宅、ツヨシ君宅、マサヒコ君宅をこの順番で訪問して帰宅したところ、サイフを忘れてきたことに気がつきました。

では、マサル君がサイフを忘れたのがツヨシ君宅である確からしさ（※）を求めてください。

（※）・・・確からしさ＝確率、です。

解答

・わたしの…

トモエ…1/3

ツヨシ…(2/3)(1/3)=2/9

マサヒコ…(2/3)^2(1/3)

1/3+2/9+4/27=(9+6+4)/27=19/27

これが、1とすると...

(2/9)/(19/27)=6/19

ってことになるのかいなぁ…?…^^;

・鍵コメT様からのわかりやすい解説～m(_ _)m～

「これが，1とすると」を少し補足すると，次のようになります．

このような「トモエ，ツヨシ，マサヒコ巡り」を繰り返し，
27回実行したとします．
さらに，毎回違うサイフを家から持ち出すものとしてみましょう．

すると，(割合として，)9回はトモエさん宅にサイフを忘れ，
6回はツヨシ君宅にサイフを忘れ，4回はマサヒコ君宅にサイフを忘れ，
8回はサイフを家に持ち帰ることになり，
マサル君のサイフが
トモエさん宅に9個，ツヨシ君宅に6個，マサヒコ君宅に4個たまります．
ということで，家に持ち帰らなかった19個のサイフの内の特定の1つが
ツヨシ君宅にある確率は6/19となります．

*なるほど、式の意味と合致しました♪

その内部にＯＡを直径とする半円があります。また、ＯＡ＝ＯＢ＝１２cmです。

いま、弧ＡＢの３等分点をＡに近い方からＰ、Ｑとするとき、

図の水色の部分の面積を求めてください。

ただし、円周率は３.１４とします。

注・・・水色の部分とは、「弧ＡＢ、弧ＡＯ、線分ＰＯ・ＱＯに囲まれた部分」です。

解答

・わたしの…

こんなん出せるのかと思うも...じっと眺めてたら姿が浮かんできましたぁ ^^

この線路沿いに、マサル君が自転車に乗って走ったところ、１９分ごとに快速とすれちがい、

また特急には３８分ごとに追い抜かれました。

また、快速に乗っていたトモエさんは、特急と１６分ごとにすれ違ったそうです。

では、特急に乗っていたツヨシ君は、何分ごとに快速とすれ違ったでしょうか。

注１・・・自転車・特急・快速の速さは一定です。

注２・・・それぞれの乗物の長さは無視します。

注３・・・特急の走行間隔と、快速の走行間隔は同じとは限りません。

解答

・わたしの…

マサル君は38分毎に、快速とすれ違い特急に追い抜かれていた…

そのとき、快速と特急はすれ違っている…

その快速と特急が同時にすれ違ってから、次に一緒にすれ違うまでに、特急は3本の快速とすれ違っている…

快速に乗っていたトモエさんは16分毎に特急にすれ違っているので、

特急は16分間に3本の快速とすれ違っている…

つまり、特急は快速と16/3 分ごとにすれ違っていることになる…

でいいですよね ^^

アットランダム≒ブリコラージュ

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