アットランダム≒ブリコラージュ

7955：集合Sの6個の元でできる2つの部分集合の和=S...

問題7955(友人問)

Sを6つの元からなる集合とする。

Sの2つの部分集合（同じでもよい）の組であって、その和集合がSになるようなものはいく組あるか。

ただし、順序を変えただけのもの{a,c}、{b,c,d,e,f}　と　{b,c,d,e,f}、{a,c}　などは同一として数える。

解答

・わたしの…

その数がどちらかにあるか両方にあるかなので…

片方にしかない数の個数で考える…

0個…1

1個…6

2個…6C2…(◯X, ◯X) or (◯X, X◯)…15*2=30

3個…6C3…(◯X◯, ◯X◯) or (◯X◯, ◯XX) or (◯X◯, X◯◯), or (◯X◯, X◯X), (◯XX, X◯◯)…20*5=100...同じ形のときはx2, 違う形のときはx3

4個…6C4*(2+4*3)=15*14=210

5個…6C5*(2+13*3)=6*41=246

6個…2+40=42

合計=1+6+30+100+210+246+42=635 組

でいいのかなぁ…?…^^

↑

何でこうなるのってな大ウソでごじゃりましたぁ…^^; Orz…

スマートなる発想をご教授いただきました〜m(_ _)m〜v

↓

・鍵コメY様からのもの Orz〜

２つの集合をＰ，Ｑ とします。
Ｓの６個のそれぞれの要素が Ｐだけ，Ｑだけ，Ｐ∩Ｑ 何れに属するかを考えると、

3^6＝729 通り、
Ｐだけ，Ｑだけに属するものを入れ替えても同じですので、
Ｐ＝Ｑ＝Ｓ の場合以外は２通りずつ同一視し、(729＋1)/2＝365 通りです。

・鍵コメT様からのもの Orz〜

2個のとき，例えば1,2が一方のみのときは，
1が第1の集合にあるとすれば，2は第1，第2のどちらかの集合にあり，2通りです．
(○×,○×)or(○×,×○)の意味はちょっと不明ですが，15*2=30は正しいです．
3個のときは，同様に考えて，6C3*4=80,
4個のときは，6C4*8=120,
5個のときは，6C5*16=96,
6個のときは，6C6*32=32
となり，総数は，
1+6+30+80+120+96+32=365
となります．

次の方法も有力です．
Sの2つの部分集合をA,Bとする．
Sの各元は，
「Aに属し，Bに属さない」「Bに属し，Aに属さない」「AにもBにも属する」
のいずれかで，3通り．
元6つについてそれぞれ3通りより，3^6=729(通り).

このうち，A=B=Sである1通り以外は，AとBを入れ替えた2つを同一視するので，
求める数は，1+(729-1)/2=365. 

*頭の中ではそんな感じで捉えるも…よくわからず…

地道に考えてみたんだけど…わけわからぬことをしてましたぁ…^^;…

お気に入り♪

7954：この子の七つのサイコロでぇ...

問題7954・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34884616.html より Orz〜

　７個のサイコロを同時に振った時の目の積 と 135 との 最大公約数が 9 である確率は？

　サイコロを投げるとき、１〜６の目が均等に出るものとします。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34908832.html より Orz〜

　５の目が出ると 135 との 最大公約数が 5の倍数になるので適しません。

　３の倍数(3，6)の目が３回以上出ると 135 との 最大公約数が 27の倍数になるので適しません。 

　３の倍数の目が１回以下だと 135 との 最大公約数が 9の倍数にりませんので適しません。 

　従って、目の積 と 135 との 最大公約数が 9 になるのは、

　３の倍数の目が２回で、それ以外の目(1，2，4)が５回出る場合だけです。

　３の倍数の目が出るサイコロ２個は ₇Ｃ₂ 通り考えられますので、

　確率は、₇Ｃ₂･(1/3)²･(1/2)⁵＝21/(3²･2⁵)＝7/96 です。

*これはさすがにわかりましたぁ♪

1,2,4,(3,6)
1,2,4,(3,3)
1,2,4,(6,6)
が出るケース…( )は1回だけ…なので…

◯◯◯◯◯に1,2,4を入れ=3^5
その間と両端の6カ所から重複許して2カ所を選んで…6H2=7C2=21
(3,6),(6,3),(3,3),(6,6) の4通りが入るので…
けっきょく…
7C2*4*3^5/6^7
=21*4*3^5/6^7
=7/96