アットランダム≒ブリコラージュ

7845：素数...

問題7845(友人問)

1より大きい整数nに対してn^5+n^4+1は素数でないことを示せ。

解答

・わたしの…

(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)=

から…

x^3...ac+b+1=0

x^2...a+bc+1=0

x...b+c=0

x^4...a+c=1

から…

(a,b,c)=(0,-1,1)

つまり…

与式=(x^3-x+1)(x^2+x+1) と因数分解できるので…

素数ではない ^^

・友人からのもの…

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0 の解のx^2+x+1の方をω、ω^2 とすると、

ω^3=1なので、ω^5+ω^4+1=ω^2+ω+1=0 である。

よって、ω、ω^2は、x^5+x^4+1=0 の解である。

よって、x^5+x^4+1 は x^2+x+1で割れなければいけない。

x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3-x+1)

x>1の整数であるから、これは1より大きい整数の積である。

*なははぁ〜ん♪

7844：正方形と45°...

問題7844・・・算チャレ！！  http://www.sansu.org より Orz〜

図のような、一辺の長さが５cmの正方形ＡＢＣＤがあります。

 いま、辺ＡＢ上に、ＡＰ＝３cmとなるような点Ｐをとり、さらに辺ＡＤ上に∠ＰＣＱ＝４５°となるような点Ｑをとりました。

 このとき、ＰＱの長さは何cmであるかを求めてください。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^