アットランダム≒ブリコラージュ

8608：内接する3個の正方形...

問題8608・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図は３つの正方形を重ねたもので、点Eは辺ADのまん中の点です。

アの部分の面積が、イの部分の面積の１/３であるとき、

ウの部分の面積は、正方形ABCDの何分のいくつですか。

（白百合学園中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

8607：最小値&最大値...

問題8607・・・http://plaza.rakuten.co.jp/yusukem/diary/201105200000/ より 引用 Orz〜

正の整数に対して定義され、正の整数値をとる関数fであって、任意のx 、yに対し、
(x+y)f(x)≦x^2+f(xy)+110
をみたすものを考える。
このとき、f(23)+f(2011)としてありうる最小の値と最大の値を求めよ。

(数学オリンピック2011)

解答

これはどうやればいいのかさっぱり思いつけませんでしたぁ ^^;

素敵な解法は上記サイトへ Go〜☆

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8606：最小次数の多項式...

問題8606・・・http://plaza.rakuten.co.jp/yusukem/diary/201009280000/ より 引用 Orz〜

f(x)、g(x)はいずれも実数を係数とする0でない多項式で、

　f(x^3) + g(x) = f(x) + x^5・g(x)を満たす。

このとようなf(x)としてありうるもののうち、次数が最も小さいものを一つ求めよ。

(数学オリンピック2010)

解答

・わたしの…

f(x)の最高次数の項を x^p

g(x)のを x^q

3p=5+q

(p,q)=(2,1), (3,4), (4,7),…

f(x)=x^2+ax+b

g(x)=x+c

(x^3)^2+a(x^3)+b+x+c=x^2+ax+b+x^6+cx^5

これは、x^2の項がないので駄目。

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

g(x)=x^4+dx^3+ex^2+fx+g

x^9+ax^6+bx^3+c=x^3+ax^2+bx+c+x^9+dx^8+ex^7+fx^6+gx^5

a=f=0,b=0では駄目,d=0,e=0,g=0

もう無理…^^;

上記サイトへ Go〜☆

8605：1を含まない数の和...

問題8605・・・http://plaza.rakuten.co.jp/yusukem/diary/201009230000/ より 引用 Orz〜

0以上10000以下の整数の中で、10進法で表記したときに１が現れないようなものすべての平均を求めよ。

(数学オリンピック2010)

解答

・わたしの…

0000〜9999までで考えても同じ…

45-1=44

(44/9)*(1111)=48884/9=5431.5555...

ね ^^

8604：頭の体操...

問題8604・・・http://plaza.rakuten.co.jp/yusukem/diary/201009220000/ より 引用 Orz〜

足しても掛けても同じ数になる５つの正の整数とその数を答えなさい。
　a + b + c + d + e = a × b × c × d × e 　…(1)
（ a, b, c, d, e は、同じ数字をいくつ使ってもよい）

(たけしのコマ大より)

解答

・わたしの…

1/(bcde)+1/(acde)+1/(abde)+1/(abce)+1/(abcd)=1

a<=b<=c<=d<=e

5/a^4>1…a<=1

・a=b=c=d=1 のとき…

4+e=e...なし

・a=b=c=1 のとき…

3+d+e=d*e

d(e-1)-(e-1)=4・・・(d-1)(e-1)=4…(d,e)=(3,3),(2,5)

・a=b=1,c=2 のとき…

4+d+e=2de…2d(e-1/2)-(e-1/2)=9/2

(2d-1)(2e-1)=9…(d,e)=(2,2)

・a=b=1,c=3 のとき…

1/27+1/27+1/9+1/9+1/9=11/27<1

から、これ以上ない…

つまり…

(1,1,1,2,5), (1,1,1,3,3), (1,1,2,2,2) の順不同なものだけね ^^