アットランダム≒ブリコラージュ

8840：速さの比...頭の体操 ^^

問題8840・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2011-12-01/ より 引用 Orz〜

Ａ君とＢ君がＰ,Ｑ2地点を一定の速さで何回か往復しました。

Ａ君はＰ地点を、Ｂ君はＱ地点同時に出発し、出発してからＡ君とＢ君が2回すれちがった後、Ｐ、Ｑの真ん中ではじめてB君がA君を追いこしました。

Ａ君の速さとB君の速さの比を求めなさい。

(開成中)

解答

・わたしの…

A=1.5

B=2.5

A : B=15 : 25 =3 : 5

ね ^^

8839：円錐を斜めに切ったときの体積...

問題8839・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35468389.html より Orz〜

　直円錐を斜めに切断し、切断面が楕円になりました。

　円錐の頂点Aと切り口の楕円の長軸の端点B，Cとの距離が AB＝20，AC＝14 で、

　長軸の長さが BC＝16 のとき、円錐の頂点Aを含む方の体積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35487091.html より Orz〜

　分割した２つの立体に球を内接させ、楕円との接点を F，F' とします。

　楕円上の任意の点Pに対して、Pを通る円錐の母線と２つの球との接点を E，E' とすれば、

　PF＋PF'＝PE＋PE'＝EE'＝一定 となって、 F，F' は楕円の焦点になります。

　楕円の長半径は 16/2＝8 で、CF＝(16＋14−20)/2＝5 なので、楕円の中心をOとすれば、

　OF＝8−5＝3 、短半径は √(8²−3²)＝√55 、面積は (8√55)π です。

　次に、(20＋14＋16)/2＝25 だから、ヘロンの公式より、

　△ABC＝√｛25(25−20)(25−14)(25−16)｝＝√(25･5･11･9)＝15√55 になり、

　BCを底辺とする高さを h とすれば h＝2(15√55)/16＝(15√55)/8 です。

　従って、求める体積は (1/3)(8√55)π･(15√55)/8＝275π＝863．9379797…… になります。　


[参考]

　BC＝a，CA＝b，AB＝c とすれば、同様に求めると、

　体積は　(π/24)(a＋b−c)(a−b＋c)√｛(a＋b＋c)(−a＋b＋c)｝ になります。

*最初、水平に傾ければ増減が同じはずと思い込んでました ^^;

スチュアートの定理から(高さx)^2を求めると…
20^2+14^2=2*(x^2+8^2)
x^2=234
(半径r)^2=17^2-234=289-234=55

水平にしたときの円の面積は…
55πなので、楕円の面積は8/√55倍
14^2=20^2+16^2-2*20*16*cosθ
cosθ=23/32 なので…
高さ=20*√(1-(23/32)^2)=15√55/8
けっきょく…
円錐の体積=(55π*(8/√55)*15√55/8)/3
=275*π

8838：旅人算...

こういう日本のプチ借景感覚ってのは好き♪

問題8838・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2011-08-01/ より 引用 Orz〜

太郎くんは毎分80mの速さで1200ｍはなれたおじさんの家に向かって歩き出しましたが、途中から毎分60mに速さを変えて歩いたので、家を出てから16分後におじさんの家に着きました。太郎くんが速さを変えたのは、おじさんの家から何mのところですか。

解答

・わたしの…

1200/16=300/4=75m/分

80:60:75=16:12:15

a/16+b/12=(a+b)/15

a(1/15-1/16)=b(1/12-1/15)

12a=3*16*b

a=4b

1200*(1/5)=240m

じっさいに…

960/80+240/60=12+4=16分

8837：嗅覚…クイズ...^^v2

問題8837・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2011-07-01/ より 引用 Orz〜

図は正方形ABCDで、辺AD、辺BCのまん中の点Ｍ、Ｎを結んだ線と点Ａが重なるようにＥＢで折りました。角アの大きさを求めましょう。

解答

・わたしの…

BN=AB/2 なので…

角BAM=30°=ア

ね ^^