アットランダム≒ブリコラージュ

9006：4段ロケット…^^

高速通勤個所が新たに一つ増えた^^♪

問題9006・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

４台の全く同じ性能の車があります。どの車もタンクいっぱいに同じ量のガソリンを入れると最大12 km 走行でき、また他の車に自分の車のガソリンの一部または全部を分けて移すこともできますが、ガソリンタンクが空になった車はそこで動けなくなります。
今、この４台の車をタンクいっぱいにガソリンを入れて同じ場所から同時に出発させ、途中でおたがいにうまくガソリンを補給し合いながら４台のうちの１台がなるべく長い距離を走れるようにすると、最大何km走ることができますか。

（２００６年算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

同じような問題があったはず…^^

・わたしの…

最後に残り2台から1/2もらう。

その前に、残り３台から1/3もらう。

その前に、残り4台から1/4もらう。

 

じっさいに、1/4使って走ったとき、残り3/4を3台に分ける。

その後、1/3使って走ったとき、残り2/3を2台に分ける。

その後、1/2使って走ったとき、残り1/2を1台に移す。

さすれば…12*(1/4+1/3+1/2+1)=12*(25/12)=25 km走れる。

9005：旧跡...ホット問^^

白梅としか見えない桜見っけ ^^🌸…

but…

"色は匂へど　散りぬるを"

問題9005・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

１秒間に右へ５ｃｍ、下へ３ｃｍの割合で動く点Ｐ があります。

この点Ｐが頂点Ａを出発してから５秒後に頂点Ｃに着いたとき、

長方形ＡＢＣＤ の面積は何ｃ㎡ ですか。

（四天王寺中学　2010年）

解答

・わたしの…

3*5*5^2=1500/4=375 cm^2

ね ^^

9004：外接円の半径...

高速のサービスエリアでモーニングしたとき豪快な枝振りで咲いてた🌸

問題9004・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35569800.html より Orz〜

　鋭角三角形ABCとその外心Oについて、面積が △OBC＝64 ，△OCA＝119 ，△OAB＝132 のとき、

　外接円の半径 R＝？　また、辺の比 BC：CA：AB＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35591075.html より Orz〜

[解答1]

　△OBC：△OCA：△OAB＝(R²/2)sin2A：(R²/2)sin2B：(R²/2)sin2C＝sin2A：sin2B：sin2C だから、

　sin2A＝64k，sin2B＝119k，sin2C＝132k とおくことができます。

　sin2B＋sin2C−sin2A＝2sin(B＋C)cos(B−C)−sin2A＝2sin(π−B−C)cos(B−C)−sin2A

　 ＝2sinAcos(B−C)−sin2A＝2sinAcosAcos(B−C)/cosA−sin2A＝sin2A｛cos(B−C)/cosA−1｝ 、

　よって、cos(B−C)/cosA−1＝(sin2B＋sin2C−sin2A)/sin2A です。

　cos(B−C)/cosA−1＝cos(B−C)/cosA＋cos(B＋C)/cosA＝2cosBcosC/cosA ですので、

　cosBcosC/cosA＝(sin2B＋sin2C−sin2A)/(2sin2A)＝(sin2A＋sin2B＋sin2C)/(2sin2A)−1 、

　sin2A＋sin2B＋sin2C＝64k＋119k＋132k＝315k だから、cosBcosC/cosA＝315k/(2sin2A)−1 、

　cosBcosC/cosA＝315k/(2･64k)−1＝187/128 ……(1)　になり、同様に、

　cosCcosA/cosB＝315k/(2･119k)−1＝11/34 ……(2) ，

　cosAcosB/cosC＝315k/(2･132k)−1＝17/88 ……(3) 、

　(1)×(2)×(3) より cosAcosBcosC＝187/2048 ……(4) 、

　(4)÷(1) ，(4)÷(2) ，(4)÷(3) より、cos²A＝1/16 ，cos²B＝289/1024 ，cos²C＝121/256 、

　sin²A＝1−cos²A＝15/16 ，sin²B＝1−cos²B＝735/1024 ，sin²C＝1−cos²C＝135/256 、

　coaA＝1/4 ，sinA＝(√15)/4 ，sinB＝(7√15)/32 ，sinC＝(3√15)/16 です。

　△OBC＝(R²/2)sin2A＝R²sinAcosA 、64＝R²(√15)/16 、R＝32/⁴√15 、

　また、正弦定理より BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC＝1/4：7/32：3/16＝8：7：6 です。

　△ABC＝2R²sinAsinBsinC を使えば、315＝R²･(315√15)/1024 より R＝32/⁴√15 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

　△OBC＝α，△OCA＝β，△OAB＝γ と一般化する．

　直線AOと辺BCの交点をD，直線AOと外接円のA以外の交点をEとすると，

　BD：DC＝γ：βより，BD＝γBC/(β＋γ)，DC＝βBC/(β＋γ) ．

　AO：OD＝(β＋γ)：αより，AO：OD：DE＝(β＋γ)：α：(−α＋β＋γ) であり，

　AD＝(α＋β＋γ)R/(β＋γ)，DE＝(−α＋β＋γ)R/(β＋γ) ．

　方べきの定理より，

　βγ｛BC/(β＋γ)｝²＝(α＋β＋γ)(−α＋β＋γ)｛R/(β＋γ)｝² ．

　BC＝R√｛(α＋β＋γ)(−α＋β＋γ)/βγ｝ ．

　同様にして，

　CA＝R√｛(α＋β＋γ)(α−β＋γ)/αγ｝ ，AB＝R√｛(α＋β＋γ)(α＋β−γ)/αβ｝ を得て，

　BC：CA：AB＝√｛α(−α＋β＋γ)｝：√｛β(α−β＋γ)｝：√｛γ(α＋β−γ)｝ ．

　α＝64，β＝119，γ＝132であるから，

　BC：CA：AB＝8：7：6 ．

　さらに，R＝2BC/√15 が得られる．

　3辺が8，7，6である三角形の面積は，(21√15)/4 であり，

　三角形ABCの面積はその4√15倍より，BC＝16･⁴√15 となって，R＝32/⁴√15 ．


[解答3] uch*n*anさんの解答より

　太字はベクトルを表すものとします。

　OB＝b，OC＝c，x，yを正の実数として，OA＝−xb−yc，とおきます。

　△OBC＝|b×c|/2＝64，|b×c|＝128，

　△OCA＝|c×(−xb−yc)|/2＝x|b×c|/2＝119，x＝119/64，

　△OAB＝|(−xb−yc)×b|/2＝y|b×c|/2＝132，y＝33/16，

　OA＝−xb−yc＝−(119b＋66c)/64，です。

　|−xb−yc|＝|b|＝|c|＝Rより，|−xb−yc|²＝(x²＋y²)R²＋2xy(b･c)＝R²，

　b･c＝(1−x²−y²)R²/(2xy)＝｛1−(119/64)²−(33/16)²｝R²/｛2(119/64)(33/16)｝＝(−7/8)R²，

　一方で，|b×c|²＋|b･c|²＝(|b||c|)²，なので，

　128²＋｛(−7/8)R²｝²＝R⁴，(15/64)R⁴＝2¹⁴，R⁴＝2²⁰/15，R＝32･15^-1/4，

　さらに，

　BC²＝|c−b|²＝|c|²−2(b･c)＋|b|²＝R²＋(7/4)R²＋R²＝(15/4)R²，

　CA²＝|(−xb−yc)−c|²＝|−xb−yc|²＋2x(b･c)＋(2y＋1)|c|²

　 ＝R²−(119/32)(7/8)R²＋(33/8＋1)R²＝(735/256)R²，

　AB²＝|b−(−xb−yc)|²＝(1＋2x)|b|²＋2y(b･c)＋|−xb−yc|²

　 ＝(1＋119/32)R²−(33/8)(7/8)R²＋R²＝(135/64)R²，

　BC²：CA²：AB²＝｛(15/4)R²｝：｛(735/256)R²｝：｛(135/64)R²｝＝64：49：36，BC：CA：AB＝8：7：6，です。

　結局，R＝32･15^-1/4，BC：CA：AB＝8：7：6，になります。


[解答4]

　△OBC，△OCA，△OAB の BC，CA，AB を底辺とする高さを a，b，c とします。

　３個の二等辺三角形を２等分し並べかえると 半径Rの半円内に収まる四角形になります。

　この四角形を分けた面積比は 2a･2R：2b･2c＝2･64：(119＋132−64)＝128：187 、

　aR/(bc)＝128/187 、同様に、bR/(ca)＝34/11 、cR/(ab)＝88/17 になります。

　aR/(bc)：bR/(ca)：cR/(ab)＝128/187：34/11：88/17 だから、

　a²：b²：c²＝64：289：484 、a：b：c＝8：17：22 、

　BC：CA：AB＝64/a：119/b：132/c＝64/8：119/17：132/22＝8：7：6 です。

　次に、a＝8k，b＝17k，c＝22k とおきます。

　aR/(bc)＝128/187 より 8kR/(17k･22k)＝128/187 、R＝32k＝4a 、

　a√(R²−a²)＝64 だから、a²√15＝64 、a＝8/⁴√15 、R＝4a＝32/⁴√15 です。


★ 本問は、[562] http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32454610.html の類題です。

*いろいろ上手そうな解法があるものなのねぇ☆

わたしゃ...結構いい加減だったりしました…^^;

内部の角度を角AOB=α,角AOC=β(鈍角),角BOC=γ(鈍角)とする
sinγ=sin(360-α-β)=sin(α+β)
sinα : sinβ : sinγ
=132 : 119 : 64
sinγ=sinα*cosβ+sinβ*cosα
64*t=(132t*√(1-119^2*t^2)+119*t√(1-132^2*t^2))
64=132*√(1-119^2*t^2)+119*√(1-132^2*t^2)
t=√15/512
2S=2*315=R^2*t*(132+119+64)
2=R^2*(√15/512)
R=32/15^(1/4)

α,β,γがすべて鈍になることが言えないまま…^^;;

cosα : cosβ : cosγ
=-√(1-132^2*t^2) : -√(1-119^2*t^2) : -√(1-64^2*t^2)
=-7/128 : -223/512 : -7/8
AB : AC : BC
=√(1+7/128) : √(1+223/512) : √(1+7/8)
=3√30/16 : 7√30/32 : √30/4
=6 : 7 : 8

ホットレモネード...

ツナサンドじゃなかとよ ^^;

こないだ...ついつい食事取ろうか迷ってたんだけど…けっきょく腹が空いてしまい…仕方なく出掛けたらば...予想通り、1軒は暖簾降ろされてて、もう１軒は...タッチの差でラストオーダー終わりましたぁって...^^;;

フレックスタイム制にして☆かぁ〜〜〜!!…

って叫んだとて、いかんともできず…

その日、モーニングも食べた同じお店が最後の頼みの綱☆

折角だから...朝と違う、この前、知人が注文してたこいつをドリンクに♪

どうも人のものが欲しくなってしまう性格は治らない…

でも、美味かったな☆

たまには、ヒーコの一つ覚えばっかりじゃつまらんから…たまにゃこれにしよっと♪

ネーミングは…「ホットレモン」が正しいのか知らん…?…Orz〜

いまだ...肩凝り凝りは続く…^^;;;...線路じゃないんだからそろそろ収束を迎えてもらいたいものザンス!! ^^;

9003：999999で割れるレピュニットの桁数...

山の方はいま盛り🌸

問題9003・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

各位の数がすべて１である整数（ア）があります。この整数は、９９９９９９で割り切れるそうです。
　このとき、考えられる整数（ア）の中で、　最も小さいものは何ケタの整数であるか、求めてください。


解答

ライブ問にてまたいずれ ^^