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2*1のドミノ牌18枚が、6*6の盤を、互いに重なりあったり、
盤の端にかかったりすることなく、覆っています。そのような並べ方の
いずれについても、ドミノ牌を1つも切ることなく、盤を1本の
垂直線か水平線に沿って2つに切り分けられることを証明せよ。
解答
類似問があった気がする…?
・わたしの…
2*1の周囲の長さは全部で6
18*6=108
6*6の周囲=4*6=24
108-24=84
内部はお互いにくっついてるので…
84/2=42
縦横いずれも直線がないとすると…
4*5+4*5=40<42 でありえない...
また、１カ所だけ直線があっても…6+3*5+4*5=41<42 のため無理で…
けっきょく、縦、横にそれぞれ少なくとも1本の直線が存在してる…
でいいかな ^^ ・鍵コメH様からのなるほどの解法 Orz〜
平行線を上から順に、H1,H2,H3,H4,H5
垂直線を左から順に、V1,V2,V3,V4,V5とよぶことにします H1を途中で遮るには縦向きのドミノ牌が必要になりますが 正方形の横幅が偶数なので縦向きの牌も偶数枚必要になります 同じようにH2上にも縦向きの牌を置くのですが、H1上で縦向きの牌を偶数枚使っているので、やはりH2上でも縦向きの牌を偶数枚使うことになります 同じことがH3〜H5までいえるので、結局縦向きの牌は少なくとも10枚必要になります 同じ考え方を垂直線にも適用することで、横向きの牌も少なくとも10枚必要だといえますが、そうなるとドミノ牌の数が18枚を超えてしまうので不可能です *たしかに☆
・友人からのもの…
逆を仮定して、あるやり方で盤をドミノで覆えば、ドミノ牌を切ることなく水平にも、垂直にも盤を切ることができないとしましょう。つまり、どの垂直格子線も、ドミノ牌の１枚を半分に切ってしまうというのです。垂直格子線は盤を２つの長方形に分断しますが、それぞれの長方形はマス目を偶数個含んでいます。というのは、長方形の１辺の辺長は６だからです。長方形の一方を見ると、それは何枚かのドミノ牌と、１枚以上の半ドミノ牌で覆われているでしょう。半ドミノ牌が１枚だけということはありえません。よって、長方形には最低２枚の半ドミノ牌がありますから、盤を切ったとき、最低でももう１枚ドミノ牌を分割したのです。よって、どの垂直線も、少なくとも２枚のドミノ牌を分割します。
同様にして、どの水平格子線も２枚のドミノ牌を分割します。明らかに、異なる線で切れば、それが同じ方向であれ違う方向であれ、同じドミノ牌を切ることはありません。
盤を垂直に切る格子線が５本、水平に切る格子線が５本で、合計１０本あります。
全部合わせると２０枚の異なるドミノ牌を分割することになりますが、ドミノ牌の総数は１８枚なので、これは不可能です。よって、仮定から矛盾が導かれました。
*鍵コメH様と同じ考え方でしたねぇ☆
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