アットランダム≒ブリコラージュ

9792：比例計算…ほっと問 ^^

問題9792・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

ある金額をＡ、Ｂ、Ｃの３人で、

Ａ：Ｂ＝２：３

Ａ：Ｃ＝３：４

で分けたら、Ｃが２４００円になりました。

では、Ｂはいくらでしょうか？

（桜丘中学　２０１２年）

解答

・わたしの…

A : B : C=6 : 9 : 8

so…

B=(9/8)*2400=2700円

ね ^^

9791：1/12377の小数点以下第6193桁目の数字...

問題9791・・・http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/161714 より 引用 Orz〜

1/12377の小数点以下第6193桁目の数は何になるか？

解答

・わたしの…

1/12377=0.0000807950230265815625757453340874202149147612507069…

周期12376

12376/2=6188個

807950…0000

192049…(6189番目〜)

so…6193番目は…

4だけど、最初に0が4個着いてるので…

じっさいは、6193-4=6189番目になるから、1ですね ^^

1/7=0.142857… 

142

857

1/13=0.0769230

769

230

1/89=0.01123595505/6179775280/89//8876404494382022471910

112359550

887640449

と、循環小数は...前半分と後ろ半分を足すと…999…になるから…

どうしてそのようになるのか上手く説明できましぇん…^^;

また、周期が12376になることも計算機からの天下りで…^^;

9790：偶数桁のレピュニットは平方数の差で表せる...

問題9790・・・http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/11-11-repunit より 引用 Orz〜

1111のような偶数桁のレピュニットは

「平方数マイナス平方数」の形で必ずかくことができます。

たとえば 、

11=6^2−5^2 

1111=56^2−45^2

となります。

これを証明しなさい。

解答

・わたしの…

11=(6+5)(6-5)

1111=11*101=11*((101-11)/2+(101+11)/2)=11*(45+56)=(56-45)(56+45)

111111=11*10101=11*((10101+11)/2+(10101-11)/2)=11*(5056+5045)

          =(5056-5045)(5056+5045)

すなわち…mは奇数なので...

11*m=11*((m+11)/2+(m-11)/2)=11*((m+11)/2-(m-11)/2))((m+11)/2+(m-11)/2)

       =((m+11)/2)^2-((m-11)/2)^2

いっぱんに、奇数*奇数なら可能ね？…^^

たとえば、

3*5=((5+3)/2)^2-((5-3)/2)^2

     =4^2-1^2

・鍵コメY様からのもの Orz〜

偶数桁でなくても、奇数 2n＋1 は 2n＋1＝(n＋1)²−n² なので、
「平方数マイナス平方数」の形で必ずかくことができます。
1 だけは 1＝1²−0² ですが……。

*そっか、なるほど♪

so…

3*5=15=8^2-7^2

とも表せるわけなのねぇ☆

素数のときは、どちらの表現でも、一通りになるんですね ^^v

19=10^2-9^2

 

レピュニット…v2

画像：http://achikochitazusaete.web.fc2.com/ouminotera/douganji/kannon.html より 引用 Orz〜

「十一面観音像は全国に数多くあるらしいが、国宝あるいは重要文化財に指定されている像は、この滋賀県が一番多いという。４１体。国宝に指定されている像は６体で、聖林寺、法華寺、室生寺、観音寺、道明寺、渡岸寺である。渡岸寺の十一面観音については、多くの方がその美しさを書いているが、・・・」

*湖北には古刹がいっぱい残ってるてるという話は読んだことがあるんだけど...すっかり忘れてた…^^;...いつの日か行ってみたいな…♪

レピュニットとは、

1,11,111,1111,…のようなすべての桁が1である数のこと.。

(10^n-1/9)ですね。

これが、平方数の場合…

下二桁は 11

平方数の　mod 4では、0, 1

11≡ 3　mod 4 なので平方数にはなれない…

一桁のときは 1でこれは明らか。

wikiでは…

「100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。」

*この mod 100 で11と≡な平方数は存在しないからという理由がわからない…?…^^;

レピュニットに素数が11以外あるか？

2,3の倍数個は駄目、また、5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...の倍数個は駄目なので…

(2^10-1)/11=1023/11=93…なはっ ^^

(10!+1)/11=3628801/11=329891(prime)…ははっ ^^

11111=41*271

1111111=239*4649

11111111111=21649*513239

1111111111111=53*79*265371653

11111111111111111=2071723*5363222357

1111111111111111111=prime=R(19)

11111111111111111111111=prime=R(23)

11111111111111111111111111111=3191*16763*43037*62003*77843839397

1111111111111111111111111111111=2791*6943319*57336415063790604359

1111111111111111111111111111111111111

=2028119*247629013*2212394296770203368013

11111111111111111111111111111111111111111

=83*1231*538987*201763709900322803748657942361

1111111111111111111111111111111111111111111

=

1111111111111111111111111111111111111111111111111

=

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

=

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

=

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

=R(67)

以上は計算できましぇん…^^;

wiki より…

R(67)=

n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...のときに、R_n は素数となる。レピュニットの素数が無限にあるかどうかは知られていない。」

*あるんだけど...

無限個あるかどうかは知られてないんですねぇ ^^;

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/11-11-repunit より 引用 Orz〜

「1111のような偶数桁のレピュニットは

「平方数マイナス平方数」の形で必ずかくことができます。

たとえば 11 は、

11=62−52

ですし、1111は、

1111=562−452

となりますね。」