アットランダム≒ブリコラージュ

9815：球の重なり...

問題9815・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150305

より 引用 Orz〜

半径１の球が２つあり，その和集合の体積が８であるとき，
２つの球の中心間の距離を小数第一位まで求めよ。
（東京大）

解答

・わたしの…

9814：サイコロの積み木…クイズ ^^

問題9814・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図はテーブルの上にサイコロを下段から９個、５個、１個と

すきまなく積み上げて固定したものです。

サイコロの向かい合う面の合計は７です。

（１）見ることのできる面は全部で何面ありますか。

（２）見ることのできる面の数の和が最小になるときはいくつになりますか。

（大阪星光学院中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

(1)

テーブルなので底は見えない(ガラスのテーブルなら見えるけど ^^;)として…

上から9個

横から3*4*2+4=28個

合計=9+28=37個

(2)

1が見えるところ・・・9+4=13

2が見えるところ・・・8*2=16

３が見えるところ・・・4*3=12

対面・・・6*7=42

合計=13+16+12+42=83

もっと簡単に求められますかいねぇ ^^;

9813：冪数の等差数列...

問題9813・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150305

より 引用 Orz〜

自然数 a, b について a^b をべき数と呼ぶとき，
どんな自然数ｎに対しても，
全項がべき数であるｎ項の等差数列を作れることを示せ。

解答

わたしゃわからず…^^;

調べたら…見つけた☆

↓

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1328277798 より 引用 Orz〜

「「累乗数の列 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, ‥‥は

任意の長さの等差数列を部分列として持つか？

・bodybody999さんのもの Orz〜

aを整数とし、
a^2,(2a)^2,(3a)^2,a^3を考えてみると
a^2=1*a^2
a^3=a*a^2
(3a)^2=9*a^2

1,a,9が等差数列になればいいので、a=5
したがって、5^2、5^3、15^2も等差数列になります（公差＝１００）
したがって長さが３であれば、いくつか作れることはわかります。
（a*a^2,16*a^2,25*a^2が等差数列になるようにa=7とすれば
7^3、28^2、35^2も等差数列です）・・・」

*なるほど!!

これは上手いですね☆

一般の証明はよくわからず…^^;…

・鍵コメT様からのクレバーなる証明 Orz〜

b≧2の場合だけをべき数と呼ぶことにしないと，
任意の自然数がべき数となってしまうので，
この問題は自明になってしまいます．

その意味だとして，
書かれている内容で，ほぼ一般の場合も示されたも同然です．
すでに得られたべき数からなる等差数列の指数部分の最小公倍数がLのとき，
等差数列の次の項xを追加し，すべての項にx^Lを掛ければ，
項数が1つ多い等差数列が得られることになります．
例えば，5^2,5^3,15^2なら，等差数列5^2,5^3,15^2,325の各項に325^6を掛ければ，
(5*325^3)^2,(5*325^2)^3,(15*325^3)^2,325^7という等差数列が得られます．
同様の操作を繰り返すことで，任意の項数の等差数列を作ることができます．

*お気に入りぃ〜♪

ちなみに…5個なら…(325^7+4*5^2*325^6)^42 を掛ければ作れるわけね ^^

大きすぎて計算できませんけど…^^;v