アットランダム≒ブリコラージュ

原始根を使ったウィルソンの定理の証明の意味がわかった…^^

ウィルソンの定理のエレガントな証明はすでにアップしてますが…

Wikiに載ってる証明が簡単ですね ☆

原始根に慣れて来てやっとわかったり♪

画像：https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange より Orz〜

*彼が最初に証明されたようですけど…

どうやってされたのか我知らず…^^;

https://ja.wikipedia.org/wiki/ウィルソンの定理 より Orz〜

「ウィルソンの定理は初等整数論における素数に関する次のような定理である。

p が素数ならば (p-1)! ≡ -1 (mod p) が成り立つ。p>1の場合、逆も成り立つ。

p が大きくなるにつれて計算量が膨大になるため、素数かどうかを判定するために用いるには実用的ではない。

証明

p = 2 の場合は成り立つので、以下pは奇素数とする。

pは素数だから法pに関する原始根aが存在する。このとき、フェルマーの小定理より、

aは原始根だから、a¹, a², … ,a^p-1(≡1)はそれぞれpを法として還元すると、1, 2, … ,p-1の並べ替えである。よって、

となる。一方、

が成り立つ。

b=a^p(p-1)/2とおくと、b² ≡ 1 (mod p) だからb ≡ ±1 (mod p) である。

示したいのはb ≡ -1 (mod p) なのでb ≡ 1 (mod p) と仮定して矛盾を導く。

aは原始根だから、フェルマーの小定理より、p(p-1)/2はp-1で割り切れる。

ゆえにp/2は整数となるが、これはpが奇数であることに反する。Q.E.D.」

これよりも、以下のサイトのものの方がわかり易いですね♪

http://mathtrain.jp/isuu より 引用 Orz〜

*原始根の定義が r^(p-1)≡1　mod p 

・・・p-1乗で初めてこれを満たす数が原始根 r

= 原始根 rは、p-1が最小の乗数になる数なので...

r^m≡1 なら、mはp-1の倍数なのね ^^

*ルジャンドルさんが証明した方法も見つけたのでまたいずれ ^^

9828：7x7を1x3 を15個とカギ型1個で覆い尽くす...

問題9828・・・算チャレ掲示板のボーナス問題さん提示問より Orz〜

7x7 の正方形に、15 個の1x3 の長方形と 1 個の面積 3 のかぎ形を敷き詰めると、どうなるでしょうか？ 

因みに、かぎ形は、以下のような形です。

□ 
□□ 

解答

・わたしの…

できないと思うのですが…?

↑

並べられるんですわねぇ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

実例です．

ABBBCCC
ADDDEEE
A*H I JJJ
* *H I KKK
FGH I ()LM
FGNN NLM
FGOOOLM

幅が一定でない文字だと見づらいですね．

1222333
1333222
1912333
9912444
1212012
1233312
1244412

の方がいいかも．

*よく見つけられるものですねぇ☆

9827：5桁の256の倍数…クイズ ^^

問題9827・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

各けたの数字が２、０、９のいずれかで、２、０、９のどれもが、いずれかのけたに現れる整数（たとえば９２０、２００９など）のうち、５けたの２５６の倍数はあるでしょうか？あるとすれば、それはいくつですか？

（２００９年算数オリンピック、ファイナル問題から）

解答

・わたしの…

8の倍数下3桁000, 992,920

256*(100a+10b+c)

c=0,2,5,7

256*(100a+10b)・・・b=0・・・これはなし

256*(100a+10b+2)=256*100a+256*10b+512

b=3,8

256*100a+256*30+512=256*100a+8192

a=3

256*300+8292=85092でなし

256*100a+256*80+512=256*100a+20992・・・a=0

20992は満たす ^^

256*100a+256*10b+256*5=1280

b=4,9

256*100a+256*40+1280=11520

a=4・・・ダメ

256*100a+256*90+1280=24320

a=1

25600+24320・・・ダメ

256*100a+10b+256*7=1792

b=0,5

256*100a+1792

a=2

256*200+1792・・・ダメ

256*100a+256*50+1792=14592

a=4・・・ダメ

けっきょく…

20992　だけね ^^

9826：等しい面積の部分…クイズ ^^

問題9826・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図は、中心角９０°のおうぎ形と半径４ｃｍの円を組み合わせたものです。

影のついた部分と同じ面積になる部分をぬりつぶしてください。

（ ２０１５年　聖ヨゼフ学園中学）

解答

・わたしの…

小さい円=4^2*π=扇形=8^2*π/4 なので…

重なってない扇形の部分と等しいわけね ^^

9825：△のできる３本の矢...

問題9825・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

３ｃｍ、５ｃｍ、７ｃｍ、１１ｃｍ、１３ｃｍの５本の矢があります。

この中から３本使って三角形を作ると、

全部で何通りの三角形ができますか？

（鶴見大学附属中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

3+5=8<7

3+7=10<11

5+7=12<13

だけはできないので…

5C3-3=10-3=7通り

^^

↑

大ウソでしたぁ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

多分大きい方から考える方が楽です．
最大が13でできないのは
3+5,3+7,5+7.
最大が11でできないのは
3+5,3+7.
以上ですべてなので，
5C2-5=5(通り)ですね．

*でした ^^;

わたしゃ何を考えてたんでっしゃろ…^^;;