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合同な４個の二等辺三角形を面にもつ四面体を、二等辺三角形の等辺をｎ等分する点を結んでできる
平面で切断し、ｎ個に分けます。( 切り口は長方形になります ) n＝5 のとき、切断してできる立体の体積比は 13：31：37：31：13 になり、 最小のものと最大のものの体積比は 13：37 です。 では、n＝25 のとき、切断してできる立体の最小のものと最大のものの体積比は？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/148198.html より Orz〜
[解答1]
もとの四面体を、正四角柱から底面が直角二等辺三角形である三角錐４個を除いたものと見なします。 正四角柱の体積を 3V とすれば、底面が直角二等辺三角形である三角錐の体積は 3V/6＝V/2 です。 従って、もとの四面体の体積は 3V−4･V/2＝V です。 まとめて正四角柱をｎ等分するとき、 底面が直角二等辺三角形である三角錐の頂点からｋ番目の小立体の体積は、 (V/2)k3/n3−(V/2)(k−1)3/n3＝V(3k2−3k＋1)/(2n3) 、 底面が直角二等辺三角形である三角錐の底面からｋ番目の小立体の体積は、 頂点から(n＋1−k)番目なので、V{3(n＋1−k)2−3(n＋1−k)＋1)}/(2n3) です。 よって、もとの立体の端からｋ番目の小立体の体積は、 3V/n−2V(3k2−3k＋1)/(2n3)−2V{3(n＋1−k)2−3(n＋1−k＋1)}/(2n3) ＝(V/n3){3n2−3k2＋3k−1−3(n＋1−k)2＋3(n＋1−k)−1} ＝V(−6k2＋6nk＋6k−3n−2)/n3 ＝−3V(4k2−4nk−4k＋2n＋4/3)/(2n3) ＝−V{3(2k−n−1)2−3n2＋1}/(2n3) になります。 n＝25 のとき、−V{6(k−13)2−937}/253 になって、 最小は k＝1，25 のとき 73V/253 、最大は k＝13 のとき 937V/253 だから、 求める体積比は 73：937 になります。 [解答2] 二等辺三角形の底辺にあたる辺の長さを na ，その２辺の距離を nb とすれば、 その２辺からの距離 x での切断面は長方形になり、 長方形の２辺は (na)(x/nb)＝ax/b ，a(nb−x)/b だから 面積は a2(nbx−x2)/b2 です。 端からｋ番目の小立体の体積は、 ∫(k-1)bkb a2(nbx−x2)/b2 dx ＝(a2/b2)[nbx2/2−x3/3](k-1)bkb ＝(a2/b2){nb(2k−1)b2/2−(3k2−3k＋1)b3/3} ＝a2b{n(2k−1)/2−(3k2−3k＋1)/3}＝a2b{3n(2k−1)−2(3k2−3k＋1)}/6 ＝a2b(−6k2＋6nk＋6k−3n−2)/6 ( [解答1]同様 ) ＝−a2b{3(2k−n−1)2−3n2＋1}/12 になります。 n＝25 のとき、−a2b{6(k−13)2−937}/6 になって、 最小は k＝1，25 のとき 73a2b/6 、最大は k＝13 のとき 937a2b/6 だから、 求める体積比は 73：937 になります。 *わたしゃ...点線を無視してしたのようなショートケーキを描いて求めましたぁ ^^;v
上の青い部分は底面積２等辺三角形*高さの下のフォルムの２個分なので...
(1/5)^2-(2/3)*(1/5)^3=13/375 (3/5)^2-(2/5)^2-(2/3)*((3/5)^3-(2/5)^3)=37/375 なので… 25分割のときは… (1/25)^2-(2/3)*(1/25)^3=73/46875 (13/25)^2-(12/25)^2-(2/3)*((13/25)^3-(12/25)^3)=937/46875 so… 73 : 937 |
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コメント（4）
