アットランダム≒ブリコラージュ

9881：3^x=x^3...

問題9881・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141218

より 引用 Orz〜

３^ｘ＝ｘ^３を満たす正の有理数は、３のみであることを示せ。
（東京大学・1991年）

解答

・わたしの…

x=3^(x/3)

x=q/p・・・p,q　は互いに素な自然数...

q/p=3^((p/q)/3)

(q/p)^3=3^(q/p)

(q/p)^(3p)=3^q

右辺は自然数なので...これが成立するには、

p=1

q^3=3^q

これが成立するには、

q=3 しかない…

でいいのかいなぁ ^^

*ちなみに…

y=3^x, y=x^3 のグラフを描かせると…

交点は２個あるんですねぇ ^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

証明は正しくできていると思います．

なお，3^x=x^3の解が2つであることは，以下のように示すことができます．
「x^3=3^x」⇔「3log x=x log3」⇔「(log x)/x=(log3)/3」.
f(x)=(log x)/xとして，f'(x)=(1-log x)/(x^2)より，
f(x)は0<x≦eで減少，e≦xで増加．
f(1)=0,lim[x→∞]f(x)=0より，
a>eであれば，f(x)=f(a)であるxは，a以外に，1<x<eにただ1つ存在する．

これは，q^3=3^qを満たす整数qが3しかないこと(ほぼ明らかではありますが)を
厳密に示すことにもつながります．
つまり，f(x)=f(3)となるxをαとおくと，1<α<eであり，
f(2)≠f(3)よりα≠2だから，αは整数ではないことがわかります．

y=logx/x のグラフ…^^

9880：△扇...

問題9880・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36178732.html#36178732 より Orz〜

　図のように、OB，OD，OF を斜辺とする３個の直角三角形OAB，OCD，OEF があって、

　辺OB上にC，辺OD上にE があります。

　OA＝22，OC＝17，OE＝12，∠AOF＝90ﾟ，AB＝CD＝EF＝x とすれば x＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36196768.html より Orz〜

[解答1]

　∠B＋∠D＋∠F＝180ﾟ なので、

　−tanF＝tan(B＋D)＝(tanB＋tanD)/(1−tanBtanD) だから、tanB＋tanD＝−tanF(1−tanBtanD) 、

　tanB＋tanD＋tanF＝tanBtanDtanF 、22/x＋17/x＋12/x＝(22/x)(17/x)(12/x) 、

　51x²＝22･17･12 、x²＝88 、x＝2√22 です。


[解答2]

　図のように、この３種類の直角三角形を２個ずつ並べると、

　３辺が 29，34，39 の三角形の内接円の半径を求めることになり、(29＋34＋39)/2＝51 、

　求める半径は √｛(51−29)(51−34)(51−39)/51｝＝√(22･17･12/51)＝2√22 です。

*[解答2]の美しい関係に気付けなかったのが悔しぃ〜^^;

ようは、tanの和の公式で分母が0になるときなので…
(1-x^2/(22*17))*12=x^2*(1/22+1/17)
so…
x=2√22

9879：立方体の切断面積の差…クイズ ^^

問題9879・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

１辺6cmの立方体があります｡

Ａは頂点の1つで､Ｂ､Ｃは辺の真ん中の点です｡

このＡ､Ｂ､Ｃを通る面で､この立方体を切断したとき、

(1)切断面はどのような形ですか？

(２)切断によってできた2つの立体の表面積の差は何ｃ㎡ですか？

(慶應義塾中等部　２０００年)

解答

・わたしの…

↑

式が切れちゃってました ^^;...ことお詫びいたします…Orz〜

and…間違ってました…^^;…

↓

・鍵コメT様のスマートな解法 Orz〜

式が一部切れていて読めませんが，結果は違っているようです．

切断面は両方の立体の表面積の一部なので無視することにします．
図の上方にある立体について，上面，手前の面，左面が自陣として，
下面で3*3/2=9/2(cm2)，右面と後面でそれぞれ6*4/2=12(cm2)奪い，
代わりに手前と左面ではそれぞれ2*3/2=3(cm2)だけ奪われています．
(9/2+12*2)-3*2=45/2(cm2)増えたことになり，相手は同じだけ減っているので，
表面積の差は45cm2です．

*納得ぅ〜^^☆

9878：展開図…立方体の切り口…クイズ ^^

問題9878・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

（フェリス女学院中学　２００７年改題）

解答

・わたしの…

これは素直に…1:1対応させて…