こんにちは、ゲストさん
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駅前からはじまる１本の道があります。
A、B２人は駅から、Cは駅より何ｋｍか先の地点から、
３人が同時に出発して同じ方向に走り出しました。
駅から７ｋｍ先の地点でBとCが並びました。
駅から１２ｋｍ先の地点でAとCが並びました。
また、駅から２１ｋｍ先の地点にBが来たとき、
Cは駅から１７ｋｍ先の地点にいました。
このとき、Aは駅から何ｋｍ先の地点にいましたか。
ただし、３人はそれぞれ一定の速さで走りました。
（SAPIX 夏期算数問題より）解答
・わたしの…
速さC<A<B
7/B=(7-x)/C
12/A=(12-x)/C
21/B=(17-x)/C
3=(17-x)/(7-x)・・・21-3x=17-x・・・x=2
7/B=5/C
12/A=10/C
21/B=15/C
12B/7A=2
7A=6B
AはBの(6/7)倍のスピード
Bが21km走ったとき…21*(6/7)=18 km
^^
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ある川の橋Ａと橋Ｂの間を船で往復します。
上りにかかる時間は下りにかかる時間の１．６倍で、
静水での鉛の速さは時速１８．２ｋｍです。
この川の流れの速さは時速何ｋｍですか。
(雙葉中学)
解答
・わたしの…
(x+y)/(x-y)=1.6
1+y/x=1.6*(1-y/x)
2.6*(y/x)=0.6
y=0.6*18.2/2.6=0.6*7=4.2 km/h
^^ |
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ある小学校の男子生徒の人数はは女子生徒の人数の６/７より８人多く、
女子生徒の人数は全体の人数の４/９より１６人多くなっています。
生徒は全員で何人ですか。
（渋谷教育学園渋谷中学 ２０１３年）解答
・わたしの…
女子=a
男子=b
a=4a/9+4b/9+16・・・5a=4b+144・・・30a=24b+144*6
b=6a/7+8・・・7b=6a+56・・・35b=30a+56*5
35b=24b+144*6+56*5
11b=144*6+56*5=1144
b=104
5a=4*104+144=560
a=112
けっきょく…
a+b=104+112=216人
けっこう、面倒ねぇ ^^;…
算数じゃどうするんでしょね…? |
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円の周上に３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒが最初、下の図の位置にあって、
ここから円の周上を時計回りに同時に回り始めます。
ただし、下の図において、
円の中心とそれぞれ３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒでつくられる角ア、イ、ウは等しい大きさです。
３つの点はそれぞれ、Ｐは４分、Ｑは１２分、Ｒは６分で円を一周し、速さは一定とします。
このとき、３つの点が２回目にひとつに重なるときは、回り始めて何分後ですか？
（西大和学園中学 ２０１０年）
解答
・わたしの…
P : Q : Rの速さ = 1/4 : 1/12 : 1/6=3 : 1 : 2
1周が12とする...
PがQに追いつくまで、4/2=2分・・・あとは、12/2=6分ごと
PがRに追いつくまで、8/1=8分・・・あとは、12分ごと
RがQに追いつくまで、8/1=8分・・・あとは、12分ごと
2+6=8分にはPはQ,Rに追いついている。
その後は12分毎に追いついていることになるので...
2回目は8+12=20分後
ね ^^
*時計の針の重なりにも似てる…^^
最初の３等分の位置が可能かどうか定かじゃない…? |
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解答
・わたしの…
x^2-4x-1=0
(x-2)^2=5
α=2+√5,β=2-√5・・・-1<2-√5<0
(2+√5)^2003+(2-√5)^2003
≡2*(2^2003)
≡2^2004
2-4-8-6-2
so…
≡6 mod 10
(2+√5)^2003+(2-√5)^2003≡6
-1<(2-√5)^2003<0 なので...
けっきょく...
α^2003=(2+√5)^2003≡7 mod 10
ですね ^^
↑
最後勘違いしてましたぁ ^^; Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
(2+√5)^n+(2-√5)^n=a[n]として，a[n+2]=4a[n+1]+a[n]．
a[0]=2,a[1]=4から，順次求めて，a[2]=18,a[3]=76,a[4]=322,a[5]=1364. a[4]とa[0],a[5]とa[1]の一の位は同じだから， a[n]の一の位は周期4で繰り返され， a[2003]の一の位はa[3]の一の位と同じであり，6． (2+√5)^2003=a[2003]-(2-√5)^2003であり， 整数a[2003]から「-1と0の間の数」((2-√5)^2003)を引いても， 1未満の正の数だけ増えて，一の位に影響はないので， 求める一の位は6. *たしかにそうでしたわ ^^;v
・友人からのもの…
a=2+√5 a^n の1の位は4,7,6,1の繰り返しと予想され、これなれば
2003番目は6である
予想の証明
b=2-√5とすると -1<b<0 よって-1<b^(2k+1)<0 0<b^(2k)<1 (A)
解と係数より a+b=4 ab=-1
s^n=a^n+b^n とおく
s^n は対称式だから基本対称式a+b、abの多項式で表されるから整数である。
1の位であるからmod 10でみればよく
計算するとs^1≡4 s^2≡8 s^3≡6 s^4≡2 (mod 10)で
以後はこの繰り返しであることを数学的帰納法で示す
s^(4k)=2 s^(4k+1)=4 s^(4k+2)=8 s^(4k+3)=6 と仮定すれば
例えば s^(4k+5)=s^(4k+3)＊s^2-a^2＊b^2＊s^(4k+1)
≡6*8-4≡8-4=4≡s^(4k+1) でその他も同様にして4つ毎に繰り返されることになる
4、8、6、2、……..とくりかえされる。
よって(A)よりa^n の1の位は4、7、6、1 の繰り返しで、証明できた。
*鍵コメT様のものと同じですね ^^ |
