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平方剰余の相互法則をガウスは生涯に７通りもの方法で証明したと言われていますが…
https://ja.wikipedia.org/wiki/平方剰余の相互法則 より Orz〜
「ガウスはこの法則に対して生涯で7つの異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では200近くもの証明が知られている。しかし、どれもそれほど簡単ではない。三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された（1844年にアイゼンシュタインが証明を公表）。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題）、高木貞治やエミール・アルティンによってなされた。」
そもそもこの平方剰余を考える切っ掛けってのがよくわからなかったのよ…?
以下のサイトからすると…
どうも、２次合同方程式をとくために考えることとなったみたいなのね ^^…?
「
法が素数の2次合同式
奇素数pを法とする2次方程式 http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?x^2~+~ax+~b~%5cequiv~0~%5cpmod{p} について考えてみる。
法が奇素数の2次合同式
この2次合同式において、もしaが奇数ならば、pを奇素数として、合同式を次のように修正できる。
http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?x^2~+~(a+p)~x~+~b~%5cequiv~%5c,~%5cpmod{p}
http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?x^2~+~2ax~+~b~%5cequiv~%5c,~%5cpmod{p} （∵xの係数は偶数であると仮定しても一般性を失わないから）
ゆえに、2次合同式の問題は奇素数pに対して、次の合同式を解く問題に帰着させられる。
なお、この合同式が解を持つとき、aは法pの平方剰余であるという。
また、解を持たないとき、aは法pの非平方剰余であるという。」
but…
上の内容(式の２行目と最後の式でいいこと)に着いて行けないわたし…
^^;;…? ↑
鍵コメT様からわかりやすい解説を頂戴しました♪
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
奇素数pを法として，
x^2+ax+b≡0⇔x^2+(a+p)x+b≡0. この2式の一方は，xの係数は偶数．それを改めて2aとおき， (x+a)^2≡a^2-b. このように，奇素数pを法とする1元2次の合同式は， x^2≡kを解くことに帰着されます． *なるほど納得できました☆〜m(_ _)m〜☆
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コメント（1）
