アットランダム≒ブリコラージュ

9834：リストラクション...

問題9834・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/mondai.html  より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

シンクロニシティっての…^^;v

9833：△比…クイズ ^^

問題9833・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/#_ga=1.14970934.1098583858.1333881279 より 引用 Orz〜

図のような面積１０５ｃ㎡の三角形ＡＢＣがあります｡

辺の比が次のような場合､三角形ＥＦＨの面積は何ｃ㎡ですか。

ＢＧ：ＧＣ＝２：５、ＧＨ：ＨＤ＝２：３、ＡＥ：ＥＦ＝１：２、

ＥＦ：ＦＧ＝１：１、ＥＤ：ＤＣ＝１：１とします。

（白百合学園中学　２０１２年）

解答

・わたしの…

(5/7)(4/5)(1/2)(2/5)(1/2)

=2/7

ね ^^

↑

ミスミス…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

5/7*4/5*1/2*2/5*1/2は2/35であり，
またこれは面積そのものではなく，面積の割合です．
結論は105*2/35=6(cm2)ですね．

*どぇ〜した ^^;v

9832：ジグザグ面積...

問題9832・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36147650.html#36147650 より Orz〜

　底辺が一直線上になるように 合同な二等辺三角形７個を並べ、

　右端の二等辺三角形の右端と 左の２つの二等辺三角形の頂点を結ぶと、

　図の水色部分 12個の面積の総和は もとの二等辺三角形(黄色部分)の面積の 5/2 倍になります。

　では、合同な二等辺三角形 280個を並べ、同様に 558個の水色部分を作ると、

　水色部分の面積の総和は もとの二等辺三角形の面積の何倍？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36166279.html より Orz〜

[解答1]

　一般化して ｎ個の二等辺三角形を並べる場合を考え、

　左から △(0)，△(1)，△(2)，……，△(n−1) と名付けます。

　また、もとの二等辺三角形(黄色部分)の面積を S とします。

　△(0)の頂点と右下を結ぶ直線との交点は、

　△(k)の左側の等辺は頂点から k/n の所、右側の等辺は k/(n−1) の所、

　△(1)の頂点と右下を結ぶ直線との交点は、

　△(k)の左側の等辺は頂点から (k−1)/(n−1) の所、右側の等辺は頂点から (k−1)/(n−2) の所、

　△(k)内の水色の部分の面積は、

　｛k/n｝｛k/(n−1)｝S−｛(k−1)/(n−1)｝｛(k−1)/(n−2)｝S

　 ＝k²S/｛n(n−1)｝−(k−1)²S/｛(n−1)(n−2)｝ 、

　k＝1，2，……，n−1 として加えると、

　｛(n−1)n(2n−1)/6｝S/｛n(n−1)｝−｛(n−2)(n−1)(2n−3)/6｝S/｛(n−1)(n−2)｝

　 ＝(2n−1)S/6−(2n−3)S/6＝S/3 です。

　△(k)のすぐ左の水色の部分の面積は、

　｛1−(k−1)/(n−1)｝｛1−k/n｝S＝｛(n−k)/(n−1)｝｛(n−k)/n｝S＝(n−k)²S/｛n(n−1)｝ 、

　k＝1，2，……，n−1 として加えると、

　｛(n−1)n(2n−1)/6｝S/｛n(n−1)｝＝(2n−1)S/6 です。

　よって、水色部分の面積の総和は S/3＋(2n−1)S/6＝(2n＋1)S/6 になり、(2n＋1)/6 倍です。

　本問では n＝280 なので、(2･280＋1)/6＝187/2 倍です。


[解答2]

　一般化して ｎ個の二等辺三角形を並べる場合を考えます。

　また、もとの二等辺三角形(黄色部分)の面積を S とします。

　下図のように、水色部分を水色と緑に塗り分け、緑の上の三角形を橙色に塗ります。

　左端の水色の三角形の面積は (n−1)S/n で、水色の三角形は全部相似、

　左から相似比は　(n−1)：(n−2)：(n−3)：……：1 です。

　よって、水色部分の面積の総和を S(n) とすれば、

　S(n)＝｛(n−1)S/n｝｛(n−1)²＋(n−2)²＋(n−3)²＋……1²｝/(n−1)²

　 ＝｛(n−1)S/n｝｛(n−1)n(2n−1)/6｝/(n−1)²＝(2n−1)S/6 です。

　緑部分と橙色部分の面積の総和は 水色部分の面積の総和に等しく、

　橙色部分の面積の総和は S(n−1) なので、求める面積(水色と緑の面積の総和)は、

　2S(n)−S(n−1)＝2(2n−1)S/6−(2n−3)S/6＝｛2(2n−1)−(2n−3)｝S/6＝(2n＋1)S/6 で、

　もとの二等辺三角形の面積の (2n＋1)/6 倍です。

　本問では n＝280 なので、(2･280＋1)/6＝187/2 倍です。

*これは、7の場合の式をつくって、当て嵌めましたぁ ^^;v

7の場合…
2Σ(1〜6)k^2/(7*6)-Σ(1〜5)k^2/(6*5)
同様に…
2Σ(1〜280)k^2/(280*279)-Σ(1〜278)k^2/(278*279)
=559/3-557/6
=187/2