アットランダム≒ブリコラージュ

9347：旧跡...目眩まし戦法...

画像：http://www.kousakusha.co.jp/DTL/tra.html より 引用 Orz〜

問題9347・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」 http://www.geocities.jp/hagure874/ ;より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

9346：五条の橋の下…(牛若丸と弁慶の出会い ^^)

画像：http://ukiyo-e.org/image/ritsumei/shiUY0184 より 引用 Orz〜

問題9346・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36233944.html#36233944 より Orz〜

　３桁の自然数 ｎ について、n²，n³，n⁴，n⁵ の順に計算します。

例えば、807²＝651249，807³＝525557943，807⁴＝424125260001，807⁵＝342269084820807 となり、

　その下３桁は５乗してはじめてもとの数に一致します。

　このような、下３桁が５乗してはじめてもとの数に一致する３桁の自然数は 807 を含めて何個？

　また、その総和は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36251982.html より Orz〜

　３桁の自然数で、ｋ乗の下３桁がもとの数に一致するものの集合を Ｓ_k とすれば、

　Ｓ_k＝｛n｜nは３桁の自然数 かつ n^k−n は 1000の倍数｝ になります。

　n³−n＝n(n−1)(n＋1)＝(n²−n)(n＋1) だから、

　「n²−n が 1000の倍数」 ⇒ 「n³−n が 1000の倍数」 が成り立ち、Ｓ₂⊂Ｓ₃ です。

　n⁵−n＝n(n−1)(n＋1)(n²＋1)＝(n³−n)(n²＋1) だから、

　「n³−n が 1000の倍数」 ⇒ 「n⁵−n が 1000の倍数」 が成り立ち、Ｓ₃⊂Ｓ₅ です。

　n⁴−n＝n(n−1)(n²＋n＋1)＝(n²−n)(n²＋n＋1) であり、 n²＋n＋1 は奇数で５の倍数にならないから、

　「n²−n が 1000の倍数」 と 「n⁴−n が 1000の倍数」 は同値となり、Ｓ₂＝Ｓ₄ です。

　まとめると、Ｓ₄＝Ｓ₂⊂Ｓ₃⊂Ｓ₅ となって、

　問題の条件を満たす３桁の自然数は Ｓ₅ の要素で Ｓ₃ の要素でないものです。

　すなわち、次の(1)(2)の両方を満たす３桁の自然数を求めることになります。

　「n(n−1)(n＋1)(n²＋1) が 1000の倍数」……(1)

　「n(n−1)(n＋1) が 1000の倍数でない」……(2)

　n²＋1 が 5の倍数でない奇数ならば、(1)(2)は矛盾します。

　n²＋1 が 5の倍数でない偶数ならば、(1)より n(n−1)(n＋1) は 125の倍数ですが、

　n は奇数なので n−1，n＋1 の片方は４の倍数で他方も偶数だから、(n−1)(n＋1) は 8の倍数、

　n(n−1)(n＋1) は 1000の倍数となり、(2)に反します。

　よって、n²＋1 は 5の倍数でなければなりません。

　また、n²−1，n²，n²＋1 は連続３整数で、

　同時に 5の倍数にならないことと (1)より積が 125の倍数であることから、

　n²＋1 は 125の倍数でなければなりません。

　まず、n²＋1 が 5の倍数になるのは、整数 a を用いて n＝5a±2 と表され、

　n²＋1＝25a²＋5(±4a＋1) が 25の倍数となるのは、

　±4a＋1 が 5の倍数となるときで、整数 b を用いて a＝5b±1 (複号同順) と表され、

　n＝5a±2＝5(5b±1)±2＝25b±7 、

　n²＋1＝625b²＋50(±7b＋1) が 125の倍数となるのは、

　±7b＋1 が 5の倍数となるときで、整数 c を用いて b＝5c±2 (複号同順) と表され、

　n＝25b±7＝25(5c±2)±7＝125c±57 です。

　n が奇数のとき n(n−1)(n＋1) は 8の倍数になり、

　n が偶数のとき n⁴−1 は奇数だから (1)より n は 8の倍数である必要があり、

　n は奇数か 8の倍数のときです。

　n＝193，307，432，443，557，568，693，807，943 の 9個で、総和は 4943 です。


☆ ３桁という条件をはずすと、k が奇数であれば、

　(1000−n)^k−(1000−n)≡(−n)^k−(−n)≡−(n^k−n) (mod 1000) だから、

　n∈Ｓ_k と 1000−n∈Ｓ_k は同値です。

　よって、n＝5a＋2 の場合を求め、このとき、n＝125c＋57 、

　n＝57，307，432，557，807 、 1000−n＝943，693，568，443，193 とすれば複号で煩わされませんし、

　そのうちの３桁の数の総和は 5000−57＝4943 です。


☆ 下３桁が３乗してもとの数に一致する３桁の自然数は

　125，249，251，375，376，499，501，624，625，749，751，875，999 で、

　太字の数は２乗したとき下３桁がもとの数に一致します。

*なぜかしら、抜け落ちてしまうわたしの方法から最後まで抜け出せず…^^;

n^4-1≡0 mod 1000
５乗して初めてこうなるのでした ^^;
so…
n^2-1≡0 ではないから、
n^2+1≡0 になるということ…
but…n^2+1≡0 mod 1000を満たすものはないから…
n^2-1≡a
n^2+1≡a+2
a(a+2)≡0

a=2m
m(m+1)=250*g
連続して250の倍数になる…
124-125・・・n^2-1≡248-250・・・ここからはPCで計算させました Orz...
193, 693, 557, 943, 443, 807, 307

249-250・・・498-500
なし
374-375・・・748-750
なし
499-500・・・998-1000
249,749, 501, 999, 499, 251, 751・・・これらは、n^2-1≡0 なので満たさず…

けっきょく…
193-807
307-693
443-557
943
の7個で、
合計=4*1000-57=3943

*どうも…125,624 が現れず…なぜぇ〜^^;;

トムソンのランプ…🔥

画像：http://blog.marcheaozora.com/?eid=7 より 引用 Orz〜

これは知らなかったけど…^^ 

https://ja.wikipedia.org/wiki/トムソンのランプ より Orz〜

「トムソンのランプ（Thomson's lamp）は、哲学者のジェームズ・F・トムソンが考案した思考実験。以下のような問題である。

時刻状態

0.000	ON
1.000	OFF
1.500	ON
1.750	OFF
1.875	ON
...	...
2.000	?

小さいスイッチのついたランプがある。スイッチの横には男が一人座っている。

• 男は時刻0で、ランプのスイッチをONにして明かりをつける。
• その1秒後、スイッチをOFFにして明かりを消す。
• その1/2秒後、スイッチをONにして明かりをつける。
• その1/4秒後、スイッチOFFにして明かりを消す。

男はこうしてスイッチを切り替える時間を毎回以前の半分の長さにしていく。つまり次は 1/8秒後にONで明かりをつけ、その 1/16秒後にOFFで明かりを消す、以下続く・・・・

さて、最初にスイッチを入れてから2秒たったとき、このランプはついているか、それとも消えているか？

このパラドックスはアキレスと亀のパラドックスに対する数学的な解答法が前提にある。つまり切り替え時間を全て足していくと（ 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +....）、極限が２に収束するというものである。」

こんな風に考えちゃいけないんだろうか知らん…?

0秒のとき1 で、その1秒後が0なら…

1=1/2+1/2^2+1/2^3+…

so…

同じく…1秒から次の2秒までの1秒間も1/2+1/2^2+1/2^3+…

だから…0→1→0と考えてもよさそうだけど…?

なはっ ^^

まるで…電子の二重スリット実験が示す、粒子の波動性=粒子であり波であるという「量子」のような話にも似てる…^^

スクリーンに当たった時(観測されたときに)初めて収束して確定する…

おそらく、このトムソンのライトは観測したら…2秒後は0 or 1が等確率で測定されるんでしょうかねぇ ^^;…っていうか、観測技術には限界があるから…不確定(性原理)としか言えないわけよね...