アットランダム≒ブリコラージュ

9843：13の倍数…クイズ ^^

きっちり終わってもすでに茜色 ^^;

問題9843・・・http://homepage3.nifty.com/sugaku/integer5.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

これは気付けましたわ ^^

9*3(n-1)+4*(4^2)^(n-1)

≡9*3^(n-1)+4*(3)^(n-1)

=3^(n-1)*13

^^

9842：a^3とa は3の余りが等しい...

大きな鯉がゆったりと泥を吸い込みながら流れに逆らって泳いでる…

真ん中右下よりに写ってるのわかるかなぁ ^^

流れに棹ささなきゃ海まで流されちゃうから...魚も大変あるね…=アヒルの水かき ^^;v

問題9842・・・http://homepage3.nifty.com/sugaku/integer5.pdf より 引用 Orz〜

解答

これは難しくはないけど…

上のサイトで示されていた方法が鮮やかだったので紹介 Orz〜☆

9841：6桁の数の上下の入れ替え...

問題9841・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36157592.html#36157592 より Orz〜

　百の位が0でない６桁の自然数 A と その上３桁と下３桁を逆にしてできる６桁の自然数 B について、

　571428：428571＝4：3 のように、

　１桁の自然数 m，n を用いて A：B＝m：n と表される A は 571428 を含めて何個？

　また、そのうち、A の６個の数字が全部異なるのは 571428 を含めて何個？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36176343.html#36176343 より Orz〜

　m＝n のとき A：B＝1：1 で、上３桁と下３桁が等しく、100，101，……，999 の 900個あります。 

　m＜n の場合と m＞n の場合は A，B の入れ換えを考えて同数あり、

　GCD(m，n)＞1 の場合は m：n を簡単にしても１桁どうしの比になるので、

　m＞n で GCD(m，n)＝1 の場合について A を求めます。

　Aの上３桁を x，下３桁を y とすれば x＞y≧100，A＝1000x＋y，B＝1000y＋x になります。

　A：B＝(1000x＋y)：(1000y＋x)＝m：n だから、m＞n より x＞y となり、

　m(1000y＋x)＝n(1000x＋y) 、(1000m−n)y＝(1000n−m)x 、

　x：y＝(1000m−n)：(1000n−m) 、(x＋y)：(x−y)＝999(m＋n)：1001(m−n) です。

　ここで、

　m，n が両方奇数のとき、GCD(m＋n，m−n)＝GCD(m＋n，2m)＝2･GCD(m＋n，m)＝2･GCD(n，m)＝2 、

　m，n が奇数と偶数のとき、GCD(m＋n，m−n)＝GCD(m＋n，2m)＝GCD(m＋n，m)＝GCD(n，m)＝1 です。

　また、1001(m−n)≧1001 より GCD(m＋n，1001(m−n))＞1 ，1001＝7･11･13 ，2＋1≦m＋n≦9＋8 を

　考慮して、m＋n＝7，11，13，14 になり、(m，n)の組は次の通りです。

　(m，n)＝(6，1)，(5，2)，(4，3)，(9，2)，(8，3)，(7，4)，(6，5)，(9，4)，(8，5)，(7，6)，(9，5) 、

　ここで、m/(m＋n)＝k/1001 とおけば、n/(m＋n)＝1−k/1001 で、

　k＝858，715，572，819，728，637，546，693，616，539，1287/2 だから、

　x：y＝(1000m−n)：(1000n−m)＝{1000m/(m＋n)−n/(m＋n)}：{1000n/(m＋n)−m/(m＋n)}

　 ＝{1000k/1001−(1−k/1001)}：{1000(1−k/1001)−k/1001}＝(k−1)：(1000−k) となって、

　x：y＝857：142，238：95，571：428，818：181，727：272，212：121，545：454，
　　　　692：307，205：128，538：461，1285：713

　このうち、x：y＝1285：713 を満たす３桁の数はなく、

　x：y＝238：95，212：121，205：128 については、

　 A＝476190，714285，952380，212121，424242，636363，848484，205128，410256，615384，820512 、

　x：y＝857：142，571：428，818：181，727：272，545：454，692：307，538：461 については、

　 A＝857142，571428，818181，727272，545454，692307，538461 です。

　以上の考察により、m＞n のときの A は 18個あり、全部で 900＋18･2＝936 個あります。

　また、６個の数字が異なる A は

　A＝476190，714285，952380，410256，615384，857142，571428，692307，538461 と、

　上下の３桁を入れ換えた 18個です。


[参考]

　これらの数は簡単な分数の循環節になります。[　　]内にその分数を示しました。

　142857 [1/7]，285714 [2/7]，428571 [3/7]，571428 [4/7]，714285 [5/7]，857142 [6/7]，

　307692 [4/13]，384615 [5/13]，461538 [6/13]，538461 [7/13]，615384 [8/13]，692307 [9/13]，

　190476 [4/21]，380952 [8/21]，476190 [10/21]，952380 [20/21]，

　128205 [5/39]，205128 [8/39]，256410 [10/39]，410256 [16/39]，512820 [20/39]，820512 [32/39]

*おもしろい問題でしたけど☆...泥臭く地道にしかわからず ^^;

1/1・・・10^3*a+b=10^3*b+a・・・999a=999b・・・a=b・・・9*10^2=900
2/1・・・1999/998=irreducible
3/1・・・2999/997=irreducible
4/1・・・3999/996=1333/332…X
5/1・・・4999/995=irreducible
6/1・・・5999/994=857/142
7/1・・・6999/993=2333/331
8/1・・・7999/992=irreducible
9/1・・・8999/991=irreducible
3/2, 5/2, 7/2, 9/2
3/2・・・2998/1997*=irreducible
5/2・・・4998/1995 =238/95
so…2*238/(2*95)=476/190, 714/285, 952/380
7/2・・・998/1993=irreducible
9/2・・・8998/1991 =818/181

4/3, 5/3,7/3,8/3
4/3・・・3997/2996 =571/428
5/3・・・4997/2995=irreducible
7/3・・・6997/2993=irreducible
8/3・・・7997/2992 =727/272
5/4,7/4,9/4
5/4・・・4996/3995=irreducible
7/4・・・6996/3993 =212/121
so…2*212/(2*121)=424/242, 636/363, 848/484
9/4・・・8996/3991 =692/307

6/5,7/5,8/5,9/5
6/5・・・5995/4994 =545/454
7/5・・・6995/4993=irreducible
8/5・・・7995/4992=205/128
so…410/256, 615/384, 820/512
9/5・・・8995/4991=1285/713…X
7/6
7/6・・・6994/5993=538/461
8/7,9/7
8/7・・・7993/6992=irreducible…X
9/7・・・8993/6991=irreducible
9/8
9/8・・・8992/7991=irreducible

so…900+18*2=936

数字の異なるもの
=538/461, 615/384, 410/256, 692/307, 571/428, 952/380, 714/285, 476/190, 

857/142
から…9*2=18個

*[参考]から、構造的に求められないのかなぁ…?

10^6-1=999999=3^3*7*11*13*37
6を原始根に持つものは、7,13
一桁のn/m・・・７のときはすべて…
13のときは、たとえば、m=11はなく、12なら、n=2,3,4,6でなくてはならず…また、n+m=13...ん、mは互いに素になってるような…
but…21,39のときはどうなってるのかがわからない…^^; 

9840：４次整数方程式の4根...

問題9840・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141219

より 引用 Orz〜

整数a、bについて ｘ^4+aｘ^２+b＝0の４つの解を考えるとき、
誤差が絶対値0.05であるような近似解として-3.45、-0.61、0.54、3.42がわかっている場合、
真の解を小数点第二位まで求めよ。

（東京大学・1982年）

解答

・わたしの…

ｘ^4+aｘ^２+b＝(x^2-α^2)(x^2-β^2)

-3.45, 3.42

-0.61, 0.54

α^2+β^2、α*β　ともに整数

so…α+βも整数

3.40〜3.47

0.56〜0.59

(3.4*0.56)^2=3.625216

(3.47*0.59)^2=4.19143729

so…(α*β)^2=4

3.40+0.56=3.96

3.47+0.59=4.06

so…α+β=4

つまり、

α*β=±2

α+β=4

x^2-4x+2=0・・・(x-2)^2=2・・・x=2±√2

x^2-4x-2=0・・・(x-2)^2=6・・・x=2±√6

2+√2=2+1.414…=3.41

2-√2=2-1.4142…=0.585…=0.59

2+√6=4.449…満たさない…

so…

±3.41

±0.59

元の方程式は…

(x-(2+√2))(x+(2+√2))(x-(2-√2))(x+(2-√2))

=(x^2-(2+√2)^2)(x^2-(2-√2)^2)

=x^4-12x^2+4=0

で、いいですよね ^^