アットランダム≒ブリコラージュ

9862：24の倍数…クイズ ^^

問題9862・・・http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node37.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

n^4+11n^2+2n^3+10n

=n^2(n^2+11)+2n(n^2+5)

=n^2(n^2-1)+12n^2+2n(n^2-1)+12n

=(n^2-1)n(n+2)+12n(n-1)

=(n-1)n(n+1)(n+2)+12n(n-1)

≡4!

^^

9861：余り…アラカルト ^^

問題9861・・・http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node37.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

フェルマーの定理から…

2^10≡1　mod 11

2^65+1=2^5+1=33≡0

(2)

13^(2n)+6

=(14-1)^(2n)+6

≡1+6

(3)

パス…^^

(4)

2^10=24

24^10=(20+4)^10=76^10

76^2=(70+6)^2=76

76^5=76

2^100-1=75

75^99

(70+5)^2=25

25^2=(20+5)^2=25

so…25 ね ^^

↑

(4)はどこか間違ってるようです ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

3) 3^4≡1(mod10)より，以下いずれもmod10として，
3^15=Aとして，3A=3^16=(3^4)^4≡1.
9A≡3より，-A≡3であり，Aの1の位は7.
(3^15)^15=3^225=Bとして，B≡3・(3^4)^56≡3であり，Bの1の位は3.
(4) 2^4=16より，2^100=(2^4)^25 の一の位は6であり，2^100-1は5の倍数．
よって，2^100-1は25の倍数．
一方，2^100-1は4で割って3余るから，(2^100-1)^99も4で割って3余る．
以上より，(2^100-1)^99の下2桁は75. 

*(4) の解法はお気に入り♪

9860：直線上の格子点の数...

輝く飛行機を撮ったんだけど写ってなかとぉ〜 ^^;...

問題9860・・・http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node37.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

1/12,2/12….,10/12,11/12,12/12

12/11, 12/10,…,3/12,2/12,12/1

なので、12と互いに素な数の２倍だけある ^^

so…

φ(12)=φ(2^2)*φ(3)=(2^2-2)*2=4

けっきょく…

2*4=8 本ね ^^

↑

題意は、格子点と原点を結んだ時、その線分上に両端以外の格子点がない場合なのでした…^^; Orz…

↓

*再考…

2*Σ(k=1〜12) φ(k)-1

φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4, φ(6)=2, φ(7)=6, 

φ(8)=4, φ(9)=6, φ(10)=4, φ(11)=10, φ(12)=4

so…

2*(1+1+2+2+4+2+6+4+6+4+10+4)-1

=2*46-1

=91 本

でいいですよね ^^

9859：3個のサイコロの目の積が12の倍数...

レトロが落ち着くのは抜け感という癒し感…?…^^

問題9859・・・(算チャレ掲示板にてMr.ダンディさんからの提示問 Orz〜)

３つのサイコロA,B,Cを振ったとき、目の積が12の倍数になる場合の数を求めて下さい。

解答

・わたしの…

12=2^2*3

so…

2個の2と1個の3がA,B,Cに、入れられる場合で、あとは何でもいい…

ただし、2^2 の箱には3は入れられない…

2がバラで入る…3通り・・・3は3通り。・・・3^2*6=54

この中には、223,266 が重複してるので、-2*3・・・54-6=48

2^2・・・3通り・・・3は残り2通り。・・・3*2*6=36

この中には、433が重複してるので、-3・・・36-3=33

この中には、243,446,666がないので、6+3+1=10

合計=48+33+10=91

6^3-5^3=91になることに気付いたので…

その意味を探ってみたけどわからない…^^;

↑

大ウソ…^^;; Orz…

再考…

最低２箱必要... 
12=2^2*3=2*2*3 or 2*6 or 4*3 
223が3通り 
26xは262が3通り、266が３通り、26(1,3,4,5)が4*6通り=30通り 
433,434が2*3=6通り、43(1,2,5,6)が4*6=24通り=30通り 

24=4*6 
464,466, 46(1,5)=3+3+2*6=18通り 

36=6*6 
666,66(1,3,5)=1+3*3=10通り 
合計=3+30+30+18+10=91 

・Mr. ダンディさんのもの Orz〜

�　6が3個のとき・・・・・・(6,6,6)の1通り 
�　6が2個のとき・・・・{6,6,●}（●:1〜5）の並べ替え.....5*3＝15（通り） 
�　6が　1個のとき・・・6のサイコロは3通り 
他の2個は 1〜5で、少なくとも1つは　2or4 ....5^2−3＾2＝16（通り） 
計　3*16＝48（通り） 
�　6が0個の場合 
{3,3,4}{3,4,4}{3,2,2}を並べかえたもの　......3*3＝9（通り） 
{3,4,▲}(▲：1,2,5）を並べ替えたもの　.......3*3!＝18（通り） 
計　27通り 

�〜�より　1+15+48+27＝91（通り） 

*如何に上手く場合分けできるかですねぇ☆

9858：Σ(k=1〜7) k^n の7の余りの最大値...

黄昏が空いてて...逢魔が時でも狙い時 ^^

問題9858・・・http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node37.html より 引用 Orz〜

［95 京大文系後期］

解答

・わたしの…

(1)

フェルマーの定理から、nが7と素なら、

n^6≡1

so…

n^7≡n

nが7の倍数ならいずれも0

(2)

7の余りは最大6

上のフェルマーの定理から...

so…n=7-1=6 で1^6+2^6+3^6+4^6+5^6+6^6=1*6

このとき、

g(6)=3*6=18 になるはず ^^