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アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2015年11月27日

2015年11月26日 | 2015年11月28日

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9626:長方形の正方形分割…パズル ^^

画像：http://leoism.jugem.jp/?eid=600 より引用 Orz～

言われて初めて見えた...り…^^;

問題9626・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/chonanmon/ より引用 Orz～

図１の四角形 ABCDは長方形です｡この長方形の内部は，図のようにいくつかの正方形だけですき間なく敷きつめることができます｡ABとADの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（灘中学　２０１３年）

解答

・わたしの…

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9625：金メダルの個数…クイズ ^^

画像：http://tourakuen.jp/blog/2011/11/post-115.html より引用 Orz～

閑谷学校の錦秋♪

当分行けてない…^^;

ぜひまた行きたいと…^^☆

問題9625・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より引用 Orz～

ある年の夏のオリンピックで、

Ｊ国は金、銀、銅の３種類のメダルの獲得数の合計が、４２個でした。

銀メダルの数が最も多く、

金メダルと銅メダルの数の差と銀メダルと銅メダルの数の差は同じでした。

また、金メダルと銀メダルの差は銅メダルの数と同じでした。

このとき、金メダルの数は何個でしたか？

（立教女学院中学　２０１３年）

解答

・わたしの…

金-銅=銀-銅　では、金と銀が同数なので…

銅-金=銀-銅

つまり…

銀>銅>金の差が等しい…その差の２倍が銅

銀=銅+銅/2

金=銅-銅/2

so…

金+銀+銅=3銅=42

銅=14

けっきょく…

金=14-14/2=7個

ね ^^

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フェルマーの二平方定理...

フェルマーの二平方定理の証明…

https://ja.wikipedia.org/wiki/二個の平方数の和より Orz～

「フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理（フェルマーの最終定理とは異なる）などと呼ばれる。

4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。

一文証明

ザギエ（Zagier）による一文証明（one-sentence proof）は、一文で完結することもさりながら、平方剰余に関する知識を要求しないということも特筆に値する。

有限集合

S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3|x^2+4yz=4n+1\}

上の対合

(x,y,z)\mapsto\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&\mbox{if}\;x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&\mbox{if}\;y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&\mbox{if}\;2y<x\end{cases}

は必ず一個の不動点を持つから、集合

S

の元の個数は奇数であり、対合

(x,y,z)\mapsto(x,z,y)

も不動点を持つ。

対合とは

\forall{a}\in{S},\varphi(\varphi(a))=a

となる写像

\varphi

のことである。不動点とは

\varphi(e)=e

となる元

e

のことであり、必ず一個の不動点を持つというのは

(1,1,n)\in{S}

を意味している。

4n+1

が素数であることを仮定して、一文証明が主張する対合が実際に対合であること、そして

(1,1,n)

の他に不動点が存在しないことの確認は読者に任せる。唯一の不動点を除き集合

S

の元は対合によって対になるから、元の個数は奇数である。従って、対合

(x,y,z)\mapsto(x,z,y)

によって対にならない元が存在する。これは

y=z

を意味し、ひいては

x^2+(2y)^2=p

を意味する。」

*どうしてこのように場合わけしなきゃいけないのか、唯一の不動点が存在することが言えるのか...肝腎なところはまったく理解できないわたしですが…^^;

後半は理解できましたぁ^^☆

one-sentence proof　ってのがかっこいいですね ♪

画像：http://pmi.postech.ac.kr/introduction/photos/ より引用 Orz～

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun518.html より引用 Orz～

「ＧＡＩ氏

フェルマーは自ら証明は与えなかったが、1640年、4を法として1に合同な素数pが２個の平方和で表される（x²+y²=p (≡1 mod 4）　x、y∈N）という記述を残す。これに対する証明は、その後1749年（100年以上経過している。）Eulerが５段階に分けて初めて完成させた。

その後1775年、Lagrangeが二次形式を用いて証明、さらにDedekindがガウス整数を利用することでKummerなどの成果を利用し２通りの証明を与える（1894年）など、歴史に残る錚々たるメンバーが関わってきた。
そして、20世紀（1990年）、Don　Zagier（ドン・ザギエ）が　A One-Sentence Proof という題であっけなく証明した。」