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画像：http://matome.naver.jp/odai/2133294421991154801 より 引用 Orz〜
pを素数、nを正の整数とするとき、
(p^n)!はpで何回割り切れるか。
解答
・わたしの…
p^nまでには、p^n, p^(n-1),…,p^2,p が含まれているので…
Σ(1〜n) k=n(n+1)/2 回割れますね ^^ ↑
浅はかでしたぁ ^^; Orz…
(鍵コメT様からのご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)
↓
*再考〜^^;
p^n,…,p^n-p,…,p^n-2p,…,p^n-(p-1)*p…,1の積なので…
p^n/p+(p^n-p)/p+…+(p^n-(p-1)*p)/p
=p*p^(n-1)-(1+2+…+(p-1))
=p^n-p(p-1)/2 個
になるのでしたのね ^^;v
↑
アホでした…^^;;
↓
*再々考...
題意は，p^nまでにpの因数はいくつあるかということでしたわ…
so…
p^n/p+p^(n-1)/p+…+p/p
=p^(n-1)+p^(n-2)+…+1
=(p^n-1)/(p-1)個
でしたのねぇ ^^;; Orz〜
わたしのは…
((p^n)!)! の個数だったのかいな…?
・鍵コメT様からのもの Orz〜
私は次の考え方が好みです．
例えば81!なら， 81!=(3*1)・(3*2)・(3*3)・…・(3*27)*(3で割り切れない整数) =(3^27)*27!*(3で割り切れない整数). 27!に同様の手法を用い，以下繰り返して， 81! =(3^27)*(3^9)*9!*(3で割り切れない整数)
=(3^27)*(3^9)*(3^3)*3!*(3で割り切れない整数) =(3^27)*(3^9)*(3^3)*(3^1)*1!*(3で割り切れない整数). これが3で割り切れる回数は，27+9+3+1. この手法は，(p^n)!でなくても使えて， N!が素数pで割れる回数は， [N/p]+[N/p^2]+[N/p^3]+[N/p^4]+… となることがわかります． *了解☆
ちなみに，
((p^n)!)!がpで割れる回数は，(p^n)!/p以上であり， そこそこ大きいp,nに対しては，p^nよりずっと大きくなります． *たしかに…^^;
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コメント（4）
![\begin{align}0 &<\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx \\&=\int_0^1 \frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2} \, dx \\&=\int_0^1 \left( x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \, dx \\&=\left[ \frac{x^7}{7} -\frac{2x^6}{3} +x^5 -\frac{4x^3}{3} +4x-4\arctan{x} \, \right]_0^1 \\&=\frac{1}{7} -\frac{2}{3} +1-\frac{4}{3} +4-\pi \\&=\frac{22}{7} -\pi\end{align}](https://upload.wikimedia.org/math/4/f/9/4f9497d8b0652d9f441f601beb514406.png)
