アットランダム≒ブリコラージュ

9639：面積比...△の辺の３等分線...頭の体操 ^^

問題9639・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

三角形の3つの辺を3等分し，図のように直線をひきました。図の黄、緑、青の部分を合わせた面積と赤の面積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。（1992年 白百合学園中学）

解答

・わたしの…

9638：出会い算...頭の体操 ^^

問題9638・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zan/ より 引用 Orz〜

Ｐ，Ｑの2地点からＡ,Ｂの２人が向かい合って

それぞれ分速８０m，分速７８mで同時に進んで行くと，

ＰＱ間の真ん中より２０ｍだけＱに近い地点で出会いました。

ＰＱ間の距離は何ｍですか。

（田園調布学園中等部　２０１４年）

解答

・わたしの…

80-78=2

AはBよりも2*20=40m余分に走ってる…

so…2 が40m

(80+78)/2*40=158*20=3160 m

ね ^^

*赤字で訂正 ^^; Orz…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

9637：旧跡...円の重なり...

問題9637・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

半円と直線でできている図の、色部分の面積は何ｃ㎡ですか。

円周率は３．１４とします。

（２０１５年　学習院女子中等科）

解答

あれ…

under consideration…^^;

9636：原点からの距離...

問題9636・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36328749.html#36328749 より Orz〜

　xy平面上の ｘ軸上にP，ｙ軸上にQ をとって、PQ＝PR＝7，QR＝4 である △PQRを作ります。

　原点OとRの距離 OR が最小のときの OP＋OQ の値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36346879.html より 引用 Orz〜

[解答1]

　まず、余弦定理より cos∠QPR＝(7²＋7²−4²)/(2･7･7)＝41/49 、sin∠QPR＝(12√5)/49 になります。

　ｘ軸上の負でない部分にP，ｙ軸上の負でない部分にQ をとっても一般性を失いませんので、

　0≦θ≦π/2 として P(7cosθ，0)，Q(0，7sinθ) とおくことができます。

　これを、P(7cosθ)，Q(7i･sinθ)になるように複素平面上に写し、R(z)とします。 

　(z−7cosθ)/(7i･sinθ−7cosθ)＝41/49＋(12√5)i/49 だから、

　z＝7cosθ＋{41＋(12√5)i}(i･sinθ−cosθ)/7

　 ＝〔{8cosθ−(12√5)sinθ}＋{41sinθ−(12√5)cosθ}i〕/7 、

　|z|²＝〔{8cosθ−(12√5)sinθ}²＋{41sinθ−(12√5)cosθ}²〕/49

　 ＝16cos²θ−(24√5)sinθcosθ＋49sin²θ

　 ＝16(1＋cos2θ)/2−(24√5)(sin2θ)/2＋49(1−cos2θ)/2

　 ＝〔65−3{11cos2θ＋(8√5)sin2θ}〕/2

　ここで、αを cosα＝11/21，sinα＝(8√5)/21，0＜α＜π/2 を満たす角とすれば、

　|z|²＝{65−63(cos2θcosα＋sin2θsinα)}/2＝{65−63cos(2θ−α)}/2 となって、

　θ＝α/2 のとき、|z|² の最小値は 1 になります。

　このとき、

　(cosθ＋sinθ)²＝1＋sin2θ＝1＋sinα＝1＋(8√5)/21＝(21＋8√5)/21 、

　cosθ＋sinθ＝(4＋√5)/√21 、

　OP＋OQ＝7(cosθ＋sinθ)＝7(4＋√5)/√21＝4√21/3＋√105/3＝9．525751…… です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

　P(p，0)，Q(0，q)，R(r，s)，とします。

　P，Qについては与えられた図で一般性を失わないので，p≧0，q≧0 ，とします。

　PQ＝7， p²＋q²＝49，

　PR＝7， (r−p)²＋s²＝49， r²＋s²−2pr＋p²＝49，

　QR＝4， r²＋(s−q)²＝16， r²＋s²−2qs＋q²＝16，

　後の二つの式を足し，最初の式を使うと，

　r²＋s²−pr−qs＝8， r²＋s²＝pr＋qs＋8， pr＋qs＝r²＋s²−8，

　ここで，OR²＝r²＋s² とコーシー・シュワルツの不等式を使うと，

　49･OR²＝(p²＋q²)(r²＋s²)≧(pr＋qs)²＝(r²＋s²−8)²＝(OR²−8)²

　(OR²)²−65(OR²)＋64≦0，(OR²−1)(OR²−64)≦0，1≦OR²≦64，1≦OR≦8，

　ただし，等号はコーシー・シュワルツの不等式の等号なので，kを実数として，p＝kr，q＝ks，です。

　今はORの最小を考えるので， OR＝1， r²＋s²＝OR²＝1 で， p＝kr，q＝ks，です。

　これより，pr＋qs＝r²＋s²−8 は k(r²＋s²)＝r²＋s²−8， k＝1−8， k＝−7，

　つまり，p＝−7r，q＝−7s です。そこで，

　PR＝7， 1−2p(−p/7)＋p²＝49， (9/7)p²＝48， p＝4√21/3，

　QR＝4， 1−2q(−q/7)＋q²＝16， (9/7)q²＝15， q＝√105/3，

　以上より，OP＋OQ＝p＋q＝4√21/3＋√105/3＝9．525751…… になります。


[解答3]

　PQの中点をMとすれば、中線定理により、2(PM²＋RM²)＝RP²＋RQ² 、

　RM²＝(RP²＋RQ²)/2−PM²＝(7²＋4²)/2−(7/2)²＝81/4 、 RM＝9/2 です。

　また、OM＝PQ/2＝7/2 だから、中線RM上にOがあるとき ORは最小になります。(OR＝RM−OM＝1 です)

　このとき、△OPQ：△RPQ＝OM：RM＝7/2：9/2＝7：9 だから、

　△OPQ＝(7/9)△RPQ＝(7/9)･(1/2)･4･√(7²−2²)＝(14√5)/3 です。　

　よって、2･OP･OQ＝4△OPQ＝(56√5)/3 になり、

　OP²＋OQ²＝PQ²＝7²＝49 だから、

　(OP＋OQ)²＝OP²＋OQ²＋2･OP･OQ＝49＋(56√5)/3＝7(21＋8√5)/3 となって、

　OP＋OQ＝(√7)(4＋√5)/√3＝4√21/3＋√105/3＝9．525751…… です。

*[解答3]を考えつけるのが不思議ぃ〜^^;

座標で滑り込みセーフ ^^;;v

R:(x,y), P:(a,0), Q:(0,b) とすると…
(a-x)^2+y^2=7^2
x^2+(b-y)^2=4^2
so…
2(x^2+y^2)-2(ax+by)=4^2
x^2+y^2=8+(ax+by)
so…(a,b)と(x,y)が反対方向を向いているときが最短…
so…√(a^2+b^2)*√(x^2+y^2)*(-1)
x^2+y^2=8-7√(x^2+y^2)・・・x^2+y^2=1 のときが最短

(a-x)^2+y^2=7^2
x^2+(b-y)^2=4^2
x^2+y^2=1
a^2+b^2=7^2

a=4√21/3, b=√105/3
a+b=(4√21+√105)/3

9635：３x３マス...石の置き方...パズル ^^

画像：http://matome.naver.jp/odai/2133294421991154801 より 引用 Orz〜

*ジミー大西 画伯の絵🌸

問題9635・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

正方形ABCDの中の３×３のマス目に石を３個置きます。

ただし、石は１マスに１個までしか置けず、上下左右の隣り合ったマスに

２個並べて置くことはできません。

全部で何通りの置き方がありますか。

(２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）

解答

・わたしの…

123

231

312

鏡像も考えて...

3の並びの対角線2通り

1の配置２通り

2の位置2通り

合計=3*2=6通り

ですよね ^^

↑

間違ってましたぁ ^^; Orz...

何と同じ問題の３回目でしたようで…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

問題7722,問題8119 参照願います ^^;v