10290：式の値...

問題10290・・・http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36362831.html より Orz〜

　a/3＋b/4＋c/5＋d/6＋e/7＝30 

　a/4＋b/5＋c/6＋d/7＋e/8＝20 

　a/5＋b/6＋c/7＋d/8＋e/9＝15 
　a/6＋b/7＋c/8＋d/9＋e/10＝12 

　a/7＋b/8＋c/9＋d/10＋e/11＝10 　

　の５個の式すべてを満たす実数 a，b，c，d，e について、

　a/10＋b/11＋c/12＋d/13＋e/14＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36379168.html より Orz〜

[解答1]

　2a/3＋2b/4＋2c/5＋2d/6＋2e/7−60＝0 ，3a/4＋3b/5＋3c/6＋3d/7＋3e/8−60＝0 ，

　4a/5＋4b/6＋4c/7＋4d/8＋4e/9−60＝0 ，5a/6＋5b/7＋5c/8＋5d/9＋5e/10−60＝0 ，

　6a/7＋6b/8＋6c/9＋6d/10＋6e/11−60＝0 です。

　f(x)＝ax/(x＋1)＋bx/(x＋2)＋cx/(x＋3)＋dx/(x＋4)＋ex/(x＋5)−60 とおけば、

　f(x)を通分すると分子は５次式以下で、f(2)＝f(3)＝f(4)＝f(5)＝f(6)＝0 だから、

　f(x)＝k(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)/｛(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)｝ と表せ、

　f(0)＝−60＝−720k/120 ですので、k＝10 です。

　ax/(x＋1)＋bx/(x＋2)＋cx/(x＋3)＋dx/(x＋4)＋ex/(x＋5)−60

　 ＝10(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)/｛(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)｝ なので、

　a/(x＋1)＋b/(x＋2)＋c/(x＋3)＋d/(x＋4)＋e/(x＋5)

　 ＝10(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)/｛x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)｝＋60/x です。

　x＝9 を代入すれば、

　a/10＋b/11＋c/12＋d/13＋e/14＝10･7･6･5･4･3/(9･10･11･12･13･14)＋60/9

　 ＝5/(3･11･13)＋20/3＝955/143 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

　f(x)＝−60＋ax＋bx²＋cx³＋dx⁴＋ex⁵として，

　∫₀¹ xf(x)dx＝0，∫₀¹ x²f(x)dx＝0．∫₀¹ x³f(x)dx＝0，∫₀¹ x⁴f(x)dx＝0，∫₀¹ x⁵f(x)dx＝0．

　よって，xf(x)は，区間[0，1]で 1，x，x²，x³，x⁴ と直交する高々6次の多項式．

　ずらしルジャンドル多項式

　P₅(x)＝252x⁵−630x⁴＋560x³−210x²＋30x−1，

　P₆(x)＝924x⁶−2772x⁵＋3150x⁴−1680x³＋420x²−42x＋1

　の和をとって定数項を消去すると，

　924x⁶−2520x⁵＋2520x⁴−1120x³＋210x²−12x＝(−60＋1050x−5600x²＋12600x³−12600x⁴＋4620x⁵)x/5

　となるから，f(x)＝−60＋1050x−5600x²＋12600x³−12600x⁴＋4620x⁵

　(a，b，c，d，e)＝(1050，−5600，12600，−12600，4620)．

　よって，a/10＋b/11＋c/12＋d/13＋e/14＝105−5600/11＋1050−12600/13＋330＝955/143．


☆ ずらしルジャンドル多項式 P_n(x) とは、

　m＜n である負でない自然数ｍに対して ∫₀¹ x^mP_n(x)dx＝0， ∫₀¹ {P_n(x)}²dx＝1/(2n＋1)

　が成り立つｎ次式のことで、

　 P₀(x)＝1
　 P₁(x)＝2x−1
　 P₂(x)＝6x²−6x＋1
　 P₃(x)＝20x³−30x²＋12x−1
　 P₄(x)＝70x⁴−140x³＋90x²−20x＋1
　 P₅(x)＝252x⁵−630x⁴＋560x³−210x²＋30x−1
　 P₆(x)＝924x⁶−2772x⁵＋3150x⁴−1680x³＋420x²−42x＋1
　　……

　と続きます。


☆ ずらしルジャンドル多項式についてのたけちゃんさんの説明

　例えば ∫₀¹｛(x(x−1))²｝''dx＝[｛(x(x−1))²｝']₀¹＝0，

　∫₀¹｛(x(x−1))²｝''xdx＝[｛(x(x−1))²｝'x]₀¹−∫₀¹｛(x(x−1))²｝'dx＝0

　であり，以下同様に，

　{x(x−1)}ⁿ のｎ階導関数は，[0，1] で x^k (k＝0，1，…，n−1)と直交します．

　Σを k＝0 から k＝n の和として　{x(x−1)}ⁿ＝Σ(−1)^n-k・(_nＣ_k)x^n+k だから，

　そのｎ階導関数は　Σ(−1)^n-k・_nＣ_k・_n+kＰ_n・x^k＝Σ(−1)^n-k・_nＣ_k・_n+kＣ_n・n!・x^k　であり，

　P_n(x) は Σ(−x)^k(n+k)!/｛k!k!(n-k)!｝ の定数倍とわかります．

*これはまったく閃かず、上手い方法があるに違いないと思ってたので…

ひたすら解答を待ってました ^^; Orz〜

[解答1]はオイラーさんかラマヌジャンの思い付くような方法ね☆

こんな視野が広がるような発想ができるようになりたいものです♪

たけちゃんさんの解法は …beyond me…^^;

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