問題10319(友人問)
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0は異なる3つの解p,q,rをもつ。
さらに2p^2-1、2q^2-1、2r^2-1 も同じ方程式の異なる3つの解である。
a,b,c,p,q,r の組をすべて求めよ。
解答
・わたしの…
地道に…^^;
2p^2-1=p
2q^2-1=q
2r^2-1=r
2p^2-p-1=(2p+1)(p-1)=0
2p^2-1=q
2q^2-1=r
2r^2-1=p
2p^2=q+1
2q^2=r+1
2r^2=p+1
p=±√((q+1)/2) が q or r
q^2=(q+1)/2・・・これは最初と同じ…
r^2=(q+1)/2=(p+1)/2・・・p=q
so…
p=q=r
p=1, -1/2
q=1, -1/2
r=1, -1/2
(p,q,r)=(1,1,1),(-1/2,-1/2,-1/2),(1,1,-1/2),(1.-1/2,-1/2)
a=-(p+q+r)=-3, 3/2, -3/2, 0
b=pq+qr+rp=3, 3/4, 0, -3/4
c=-pqr=-1, 1/8, 1/2,-1/4
ね ^^
もっと本質的な解法ってのがあるんだろうなぁ…?
↑
そもそも異なる3根でなかったわ ^^;; Orz…
↓
・鍵コメT様のヒントに則り考えてみた…^^
あらすじとしては，
[1] p,q,rが実数であることを示す．
[2] p,q,rの絶対値が1以下であることを示す．
[3] f(x)=2x^2-1として，
「f(p)=q,f(q)=p,f(r)=r」型と「f(p)=q,f(q)=r,f(r)=p」型に分類し，
p=cosαとでもおいて，αについて調べる．
といった手順になると思います．
[1]
一つは実数…
p=2p^2-1
q,rは共役複素数…
q=2r^2-1・・・x+y*i=2(x-y*i)^2-1=2x^2-2y^2-1-4xy*i・・・x=2x^2-2y^2-1, y=-4xy・・・x=-1/4, 2y^2=1/8+1/4-1<0
なので解なし
r=2q^2-1
上以外だと、q,rは実数になる…
つまり、3根はすべて実数
[2]
どうすれば示せるのか分からない…?
[3]
x=2y^2-1, y=2x^2-1
PCで計算させると…^^;
x=(√5-1)/4, y=-(√5+1)/4
z=2z^2-1・・・-1/2,1
a=1/2+(√5+1)/4-(√5-1)/4=1
b=(-1/2)(-/2)-(4/16)=0
c=(1/2)(-1/4)=-1/8
a=-1+1/2=-1/2
b=-1/2-1/4=-3/4
c=-1/4
x=2y^2-1, y=2z^2-1, z=2x^2-1
は上の考察から…x=y=zになるのでダメ
・鍵コメT様からのもの Orz〜
> p=±√((q+1)/2) が q or r
これが意味不明です．
q=f(p)といっているわけで，そのpはqやrとは異なります．
実際，これを満たす解はありますが，
その解を得るためには，余弦の倍角公式がないと厳しいと思います．
つまり，p=cosαのようにおける保証が欲しいわけで，そのための[2]です．
[2]は例えば次のように．．．
|p|>1と仮定する．pはx^3+ax^2+bx+c=0…[*] の解．
|2p^2-1|=2p^2-1=2|p|・|p|-1>2|p|-1=|p|+|p|-1>|p|より，
2p^2-1はpより絶対値が大きい[*]の解．これをp'とすると，
同様の考察から，2p'^2-1はp'より絶対値が大きい[*]の解．
これをp''として，2p''^2-1はp''より絶対値が大きい[*]の解．
以上より，3次方程式[*]が4つの異なる解をもち，矛盾．
なお，x=2y^2-1…[1],y=2x^2-1…[2]は，手計算で十分計算できます．
[1]-[2]: x-y=2(y^2-x^2).
x≠yだから，両辺をy-xで割って，-1=2(x+y)となり，y=-x-1/2.
[2]に代入して，-x-1/2=2x^2-1から，4x^2+2x-1=0となって，
x=(-1±√5)/4を得ます．
あるいは，|x|≦1を確かめてあれば，x=cosθ (0≦θ≦π)とおき，
y=cos2θ，x=cos4θから，cos4θ=cosθ．
これから，4θ=±θ+2nπ (πは整数)を得て，
θ=2nπ/3，2nπ/5とする方法もあります．
θ=0,2π/3のとき，x=1,-1/2となってy=xから不適．
θ=2π/5に対して，x=cos(2π/5)=(-1+√5)/4,
θ=4π/5に対して，x=cos(4π/5)=(-1-√5)/4となります．
(後の方法が，「f(p)=q,f(q)=r,f(r)=p」型の考察のヒントになるはずです．)
*参考にして類推ぃ〜^^;v
もう一つの巡回型の解は...
x=cos(a)、z=cos(c)、y=cos(b)
cos(a)=cos(2c)
co(b)=cos(2a)
cos(c)=coc(2b)
a=θ/2, b=θ, c=2θ なら…cos(2c)=cos(a)
so…a=π/5, b=2π/5, c=4π/5
cos(π/5)=(1+√5)/4
ってな解があるわけね ^^;…?
じっさいに…
2*((1+√5)/4)^2-1=(-1+√5)/4
2*((-1+√5)/4)^2-1=(-1-√5)/4
2*((-1-√5)/4)^2-1=(1+√5)/4
↑
これ嘘でした…(-1√5)/4 で…cos(2*4π/5)=cos(2π/5)になるはずでしたわ
となってるわ♪
ということは...最初の３組は満たさないわけあるね ^^;…
↑
so…満たしてます…^^;;v
・鍵コメT様からのもの Orz〜
巡回型で，q=f(p),r=f(q),p=f(r)の場合，
p=cosθとおけば，q=cos2θ，r=cos4θ，p=cos8θとなって，
cosθ=cos8θを考えることになります．
*そこからは…θ=π/5が出て来ない…^^;;
↑
出て来ないのは不思議じゃなかったわ ^^;;; Orz
↑
計算も間違ってたり…^^;; Orz…
・鍵コメT様からのもの Orz〜
θ=π/5は巡回型にならないからです．
cos(π/5)が解だとすると，
この場合，3解はcos(π/5),cos(2π/5),cos(4π/5)となりますが，
3解はcos(2π/5),cos(4π/5),cos(8π/5)=cos(2π/5)で...やはり不適です．
*たぶん…分数が素数の7のものが適するはずね ^^
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