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正八面体には４組の平行な面があります。 図のように、正八面体の辺を４等分するように、平行な面４組に平行な 12平面で切断すると、 もとの正八面体の１辺の 1/4 の長さの辺をもつ 正四面体 80個と 正八面体 44個に分かれます。 では、同じように正八面体の辺を９等分するように、平行な面４組に平行な 32平面で切断すると、 もとの正八面体の１辺の 1/9 の長さの辺をもつ 正四面体は何個？ また、正八面体は何個？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36430185.html より 引用 Orz〜
[解答1]
正八面体の切断はは複雑ですので、正四面体の切断を考えます。 １辺の長さが n の正四面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。 切断面は１辺が k (k＝1，2，……，n−1) の正三角形で、 右下図のように１辺が１の正三角形 k2 個で構成され、 そのうち、△は 1＋2＋……＋k＝k(k＋1)/2 個，▽は 1＋2＋……＋(k−1)＝(k−1)k/2 個です。 上から k 段目のは 上面が１辺が k−1 ，下面が１辺が k の正三角形である正三角錐台で、 下面に上面を重ねると、下面の▽の上は上面の△で 正八面体になり、 下面の△の上は上面の三角形の頂点，上面の▽の下は下面の△で 正四面体になります。 従って、 正四面体の個数は k(k＋1)/2＋(k−2)(k−1)/2＝k2−k＋1 を、 k＝1，2，……，n として加えて、n(n＋1)(2n＋1)/6−n(n＋1)/2＋n＝n(n2＋2)/3 、 正八面体の個数は (k−1)k/2＝−(k−2)(k−1)k/6＋(k−1)k(k＋1)/6 を、 k＝1，2，……，n として加えて、(n−1)n(n＋1)/6 です。 １辺が n の正八面体であれば、１辺が 2n の正四面体から １辺が n の正四面体を４個を除けば良いので、 正四面体の個数は 2n(4n2＋2)/3−4n(n2＋2)/3＝4(n−1)n(n＋1)/3 で、 正八面体の個数は (2n−1)･2n(2n＋1)/6−4(n−1)n(n＋1)/6＝n(2n2＋1)/3 です。 本問は n＝9 の場合で、正四面体は 4･8･9･10/3＝960 個，正八面体は 9(2･92＋1)/3＝489 個です。 [解答2] １辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。 このときにできる １辺が 1 の 正四面体の個数を x ，正八面体の個数を y とします。 また、１辺の長さが 1 の正三角形の面積を S ，正四面体の体積を V とします。 正八面体の１つの面に近い方から k 番目の切断面の面積は、 ｛(n＋k)2−3k2｝S＝(n2＋2nk−2k2)S だから、 その面に平行な切断面の面積の総和は、k＝1，2，……，n−1 として加えて、 ｛n2(n−1)＋n2(n−1)−(n−1)n(2n−1)/3｝S＝n(n−1)(4n＋1)S/3 、 従って、切断面の面積の総和は 4n(n−1)(4n＋1)S/3 です。 切断されてできた１辺が 1 の 正四面体，正八面体の表面積の総和は、 4Sx＋8Sy＝2･4n(n−1)(4n＋1)S/3＋8n2S 、x＋2y＝2n(n−1)(4n＋1)/3＋2n2＝2n(4n2−1)/3 、 切断されてできた１辺が 1 の 正四面体，正八面体の体積の総和は、 Vx＋4Vy＝4n3V 、x＋4y＝4n3 です。 x＋2y＝2n(4n2−1)/3 ，x＋4y＝4n3 を連立して、x＝4(n−1)n(n＋1)/3 ，y＝n(2n2＋1)/3 になります。 本問は n＝9 の場合で、x＝4･8･9･10/3＝960 ，y＝9(2･92＋1)/3＝489 です。 [解答3] １辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。 もとの正八面体の面は n2 個の正三角形に分割されますが、もとの面と、 同方向の△は分割された正八面体の面、逆方向の▽は分割された正四面体の面で、 ▽は 1＋2＋……＋(n−1)＝(n−1)n/2 個です。 もとの正八面体の中心と１つの面の３頂点を頂点とする四面体で考えると、 分割された正四面体の個数は (k−1)k/2 を k＝1，2，……，n−1 として加えれば求まります。 (k−1)k/2＝−(k−2)(k−1)k/6＋(k−1)k(k＋1)/6 だから、その和は (n−1)n(n＋1)/6 、 全体ではその８倍で、4(n−1)n(n＋1)/3 個です。 切断してできる小さい四面体は小さい八面体の体積の 1/4 だから， 八面体の個数は n3−4(n−1)n(n＋1)/3/4＝n(2n2＋1)/3 です。 本問は n＝9 の場合で、正四面体は 4･8･9･10/3＝960 個，正八面体は 9(2･92＋1)/3＝489 個です。 [解答4] たけちゃんさんの解答より (立体角と八面体数を使って [891]参照) １辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。 「頂点」は切断してできる小さい四面体･八面体の頂点になる元の八面体の点をいう． 立体角の考察から，以下を得る． ・ 元の６頂点は，八面体１つの頂点である． ・ 元の12辺の途中の頂点は四面体２つと八面体２つに共有される．(左下図 左) ・ 元の８面の内部の頂点は四面体４つと八面体３つに共有される．(左下図 右) ・ 元の八面体の内部の頂点は四面体８つと八面体６つに共有される．(面の２倍) 辺をｎ等分して分割するとき， 元の頂点の個数は 6 ，辺の途中の頂点の個数は 12(n−1) ， 元の８面の内部の頂点の個数は 8｛1＋2＋……＋(n−2)｝＝4(n−2)(n−1)個 ， 元の八面体の内部の頂点の個数は 2｛12＋22＋……＋(n−2)2｝＋(n−1)2＝(n−1)(2n2−4n＋3)/3 ， よって，求める個数は， 四面体の個数は｛2･12(n−1)＋4･4(n−2)(n−1)＋8(n−1)(2n2−4n＋3)/3｝/4＝4(n−1)n(n＋1)/3 , 八面体の個数は｛6＋2･12(n−1)＋3･4(n−2)(n−1)＋6(n−1)(2n2−4n＋3)/3｝/6＝n(2n2＋1)/3 . 本問は n＝9 の場合で、正四面体は 4･8･9･10/3＝960 個，正八面体は 9(2･92＋1)/3＝489 個です。 [解答5] たけちゃんさんの解答より (四角錐を利用) １辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。 １つの対称面と平行で各辺のｎ等分点を通る平面でさらに切断すると， 各正方形は，一辺１の正方形に分割され，その個数は 2｛12＋22＋32＋…＋(n−1)2｝＋n2＝n(2n2＋1)/3. これがそのまま正八面体の個数である． 切断してできる小さい四面体は小さい八面体の体積の 1/4 だから， 四面体の個数 4｛n3−n(2n2＋1)/3｝＝4(n−1)n(n＋1)/3を得る． 本問は n＝9 の場合で、正四面体は 4･8･9･10/3＝960 個，正八面体は 9(2･92＋1)/3＝489 個です。 *これは脱帽以上の脱毛 ^^;
1/4…
一皮むいて…1/2 ４面体(8)：8面体(6) 1/3… 4面体3*8+8=(32)：8面体6+12+1=(19) 19*4+32=108=3^3*4 1/4… 4面体(80)：8面体(44) で…f(n)とf(n-2)との関係を見つけたかったのですが...
規則性気付けず…矢尽き刀折れ...^^;; 正八面体の個数の整数列大辞典で…
0, 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489 a(n) = (1/6)*(4n^3 + 2n)になるんですねぇ ^^;… so… (9^3*4-x)/4=489・・・x=960 ♪が正四面体の個数 ちなみに…0,8,32,80,の方は載ってないようです? 漸化式だと… 正八面体の個数は f(n)-f(n-2)=4n(n-2)+6 個ずつ増えて行くことになるようですが…+6は各頂点の分としても外に１層増やしたとき，こんな式になることが解読できましぇん…^^;; |
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