アットランダム≒ブリコラージュ

8848：2番目に大きい約数...

問題8848・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2012-02-01/ より 引用 Orz〜

【開成中の2012年】

2以上150以下の整数に対して、＜n＞はnの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、6の約数は1,2,3,6なので＜6＞＝3であり、7の約数は＜7＞＝1です。

(1)　2以上150以下の全ての偶数nに対する＜n＞の和、

　　すなわち、＜2＞＋＜4＞＋＜6＞＋…＋＜150＞を求めなさい。

(2)　2以上150以下の全ての3の倍数nに対する＜n＞の和、

　　すなわち、＜3＞＋＜6＞＋＜9＞＋…＋＜150＞を求めなさい。

(3)　A/5＝＜A＞、B/7＝＜B＞、C/11＝＜C＞ となるような

      2以上150以下の整数A、B、Cはそれぞれ何個ありますか。

(4)　2以上150以下の整数nに対する＜n＞の和、

     すなわち、＜2＞＋＜3＞＋＜4＞＋…＋＜150＞を求めなさい。

     なお、2以上150以下の整数nのうち、＜n＞＝1であるものは35個です。

解答

・わたしの…

(1)　

2番目に大きいとは…2番目に小さい数で割ればいいので…

<2>=1

<4>+…+<150>=2+3+…+75

けっきょく…

(1+75)*75/2=38*25*3=11400/4=2850

(2)

同様に…

1+2+…+50=51*50/2=5100/4=1275

150/6=25

6,12,18,…,150・・・3,6,9,…,75=3*(1+2+…+25)=3*1300/4=3900/4=975

1275-975=300

(3)　

A/5=<A>…5,5^2,5^3の3個

B/7=<B>…7,7^2の2個

C/11=<C>…11,11^2の2個

(4)　

(3) までから…

<2K>+<3K>+<5K>+<7K>+<11K>+35

=2850+300+5+5^2+7+11-2

=3150+46

=3196

でいいかな ^^

8847：約数の個数...

問題8847・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35474190.html より Orz〜

　n² の正の約数が 525個，n³ の正の約数が 1540個である自然数のうち、最小の自然数 n は？ 

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35495094.html より Orz〜

　p，q，r，s，…… を素数 、a，b，c，d，…… を整数 、a≧b≧c≧d≧……≧0 として、

　n＝p^aq^br^cs^d…… と素因数分解されるものとすれば、

　n² の正の約数は (2a＋1)(2b＋1)(2c＋1)(2d＋1)…… 個，

　n³ の正の約数は (3a＋1)(3b＋1)(3c＋1)(3d＋1)…… 個 で、

　自然数 m について、4/3≦(3m＋1)/(2m＋1)＜3/2 だから、

　a，b，c，d，…… のうち 自然数であるものの個数を k とすれば、

　(4/3)^k≦1540/525＜(3/2)^k になります。

　(4/3)³＜1540/525＜(4/3)⁴ より k≦3 ，(3/2)²＜1540/525＜(3/2)³ より k≧3 、

　k＝3 となって、p，q，r を素数 、a，b，c を整数 、a≧b≧c≧1 として、

　n＝p^aq^br^c と素因数分解されます。

　よって、(2a＋1)(2b＋1)(2c＋1)＝525 ，(3a＋1)(3b＋1)(3c＋1)＝1540 になり、

　展開して整理すると、4abc＋2(bc＋ca＋ab)＋(a＋b＋c)＝262 ，9abc＋3(bc＋ca＋ab)＋(a＋b＋c)＝513 、

　a＋b＋c は 2の倍数かつ 3の倍数になり、a＋b＋c＝6K とおけば、

　2abc＋(bc＋ca＋ab)＝131−3K ，3abc＋(bc＋ca＋ab)＝171−2K 、abc＝40＋K ，bc＋ca＋ab＝51−5K 、

　bc＋ca＋ab≧a＋b＋c だから、51−5K≧6K 、K≦51/11 、K＝1，2，3，4 です。

　K＝1 のとき abc＝41 、(a，b，c)＝(41，1，1) は a＋b＋c＝6 を満たしません。

　K＝2 のとき abc＝42 、(a，b，c)＝(42，1，1)，(21，2，1)，(14，3，1)，(7，6，1)，(7，3，2) で、

　 a＋b＋c＝12 を満たすのは (7，3，2) だけで、これは bc＋ca＋ab＝41 も満たします。

　K＝3 のとき abc＝43 、(a，b，c)＝(43，1，1) は a＋b＋c＝18 を満たしません。

　K＝4 のとき abc＝44 、(a，b，c)＝(44，1，1)，(22，2，1)，(11，4，1)，(11，2，2) は

　 a＋b＋c＝24 を満たしません。

　よって、(a，b，c)＝(7，3，2) 、最小の n は n＝2⁷･3³･5²＝86400 です。

*わたしゃ…ちょいと試行錯誤で ^^;

525=3*5^2*7
1540=2^2*5*7*11
から、因数が3個じゃないと無理で…
15,5,7→(15-1)/2=7, (5-1)/2=2, (7-1)/2=3
(3*7+1)*(3*2+1)*(3*3+1)=22*7*10=2^2*5*7*11=1540

でビンゴだったり…Orz…

大きい数だったら駄目駄目だったはずね ^^;;...

8846：証明...

迷彩色の色合いが落ち着けます☆...寛いで一服できましたぁ♪

問題8846(友人問)

a>=0　a+b>=0　a+b+c>=0　のとき

x>=y>=z>=0　を満たすどのようなx,y,zについても、

つねに　ax+by+cz>=0　が成り立つことを証明せよ。

解答

・わたしの…

考えたら当たり前だのクラッカーじゃん?…^^

ax+by+cz>=(az+cz)+by>=(a+b+c)*z>=0

↑

推論がおかしかったぁ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

bが負の可能性があるので，「(az+cz)+by>=(a+b+c)*z」は言えません．

負の可能性のある文字を使わないようにすると，見通しがよくなります．
a+b=K,a+b+c=Lとすると，K≧0,L≧0であり，b=K-a,c=L-K.
x-y=P,y-z=Qとすると，P≧0,Q≧0であり，y=z+Q,x=z+P+Q.
ax+by+cz=a(z+P+Q)+(K-a)(z+Q)+(L-K)z
=aP+KQ+Lz≧0. 

*たしかに…^^;;

コメ欄のように推移させればいいですよね…?…

・友人からのもの…

y,zを固定して、xだけ動かすときの１次関数

f(x)=ax+by+cz  (x>=y  (>=z>=0))

の最小値は、a>=0 により、

f(y)=ay+by+cz=(a+b)y+cz

である。これを、yの関数(zは固定)と見なして

g(y)=(a+b)y+cz  (y>=z  (>=0))

とおくときの最小値は、a+b>=0 により

g(z)=(a+b)z+cz=(a+b+c)z

最後に、これをz (>=0) の関数と見なすと、最小値はz=0 のときである。

*まだるっこく感じちゃうんだけど…^^;

8845：追い越し算...

別に大したことはなかったり…^^;…日本ラーメン Orz...

問題8845・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2012-02-01/ より 引用 Orz〜

池のまわりを１周する遊歩道があり、A、Bの2人がそれぞれ一定の速さで歩きます。スタート地点から２人が同時に出発し、逆向きに池のまわりを歩くと、６分後に2人は初めてすれ違います。また、スタート地点から2人が同時に出発し、同じ向きに池のまわりを歩くと、Aがちょうど4周し終わったときに初めてBを追いこします。Aは池のまわりを1周するのに□分かかります。

(平成24年　灘中)

解答

・わたしの…

a=4b

4/5周を6/5分で歩いているわけだから…

(6/5)*(5/4)=3/2=1.5分

ね ^^

↑

まるでダメダメでしたぁ ^^; Orz…

↓

・あちゃさんのもの Orz〜

>Aがちょうど4周し終わったときに初めてBを追いこします
の意味を最初は理解できなかったのですが、Ｂが3周したときに、
Ａが4周目を終わり、5周目にかかるということだと分かり、そうなると、ａ＝４ｂではなく、ａ：ｂ＝４：３ になりますよね。
そもそも、向かい合って６分かかるのに、一人で歩いて１．５分は不可能ですよね。

*けっきょく…

6 : 1/7 = x : 1/4

x=(6/4)*7=21/2=10.5分

でしたのね ^^

8844：求長…正方形...

虎ノ門ヒルズのモニュメント ^^

問題8844・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図のような、一辺の長さが４cmの正方形ＡＢＣＤがあります。

いま、辺CDの中点をMとし、ＢとＭを結び、∠ＭＢＣの大きさを測りました。次に、辺ＣＤ上に、∠ＰＡＢ＝２×∠ＭＢＣとなるような点Ｐをとったところ、ＡＰ=５cmとなりました。

 

このとき、ＣＰの長さは何cmであるかを求めてください。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^