アットランダム≒ブリコラージュ

8869：操作…クイズ ^^

問題8869・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2013-02-01/ より 引用 Orz〜

8桁の整数12345678に下のような操作を100回続けて行なってできる整数は□です。

操作：左から1，2，3，4，5，6，7，8番目の数字を

それぞれ左から2，4，6，8，1，3，5，7番目に移す。

つまり、ABCDEFGHをEAFBGCHDにする。

(2013年 灘中)

解答

・わたしの…

1-2

2-4

3-6

4-8

5-1

6-3

7-5

8-7

1-2-4-8-7-5-1

3-6-3

の2ループがある…

1は…6回目に元に戻り、

3は2回目に元に戻る…

100/6=16…4

100/2=50…0

なので...

75312648

ね ^^

↑

間違ってましたぁ ^^; Orz…

(あちゃさんご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

↓

わたしのは順番の番号にしかなってなかったですね…Orz
so…
12345678
75318642 　←ここも間違ってましたし…^^;
↓

で…けっきょく…
48372615

なのでしたぁ Orz〜

・鍵コメY様のスマートな解法 Orz〜☆

９を法とする剰余系で考えると、
１回の操作によって、k番目の数が 2k番目に移ることになりますので、
(2^6)k＝64k≡k (mod 9) に注意すれば、６回の操作でもとに戻ります。
100≡4 (mod 6) だから、100回の操作と 4回の操作の結果は同じで、
k番目の数が 16k番目(7k番目)に移ることになり、
1番目→7番目，2番目→5番目，3番目→3番目，4番目→1番目，
5番目→8番目，6番目→6番目，7番目→4番目，8番目→2番目
よって、48372615 ですね。

*言われるまで…9の剰余とは見抜けなかったり…^^;…!!

8868：４数の中の2数の積...

問題8868・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2013-02-01/ より 引用 Orz〜

異なる4つの整数があり、小さい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。これらから2つずつとってかけあわせた数を小さい順に並べると、108、126、162、168、216、252　となります。このとき、4つの整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを求めなさい。

(桐蔭中 25年)

解答

・わたしの…

a<b<c<d

abcd=108*252=2^4*3^5*7

ac=126=2*3^2*7

bd=216=2^3*3^3

cd=252=2^2*3^2*7・・・c=7

162=2*3^4・・・ad

168=2^3*3*7・・・bc

acadab=a^2*abcd=126*162*108

a^2=126*162*108/(108*252)=81…

a=9

b=12

c=14

d=18

ってことあるね ^^;v

・鍵コメY様のよりスマートな解法 Orz〜

次のような方法もあります。
108、126、162、168、216、252 は順に、
AB、AC、AD、BC、BD、CD または AB、AC、BC、AD、BD、CD
よって、B：C＝AB：AC＝108：126＝6：7 、
162，168 のうち 6×7＝42 で割り切れるのは 168 なので、
BC＝168＝2×2×6×7 で、B＝2×6＝12，C＝2×7＝14 、
ここまでくれば簡単ですね。

*特殊な場合をこじ開けるところに目がすっといくところがさすがですねぇ♪

8867：２の累乗…クイズ ^^

問題8867・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2013-02-01/ より 引用 Orz〜

２×２＝４から始めて、２つの数の間のかけ算で新しい数を作ることをくり返します。その際、２および一度作られた数は、以降の計算に何度でも使えるという決まりにします。
例えば、２×２＝４、４×２＝８、８×２＝16とすると、３回のかけ算で16が得られますが、２×２＝４、４×４＝16とすると、２回のかけ算でも16が得られます。
このような決まりに従って、かけ算を最低 ①　 回すれば512（２を９個かけた数）が得られ、かけ算を最低 ②　 回すれば32768（２を15個かけた数）が得られます。

(2013年度 灘中)

解答

・わたしの…

512=2^9=(2^4)^2*2…2+1+1=4回

2^15=(2^4)^3*2^3…2+2+1+1=6回

でいいのかなぁ…?

8866：最大公約数の商の和...

問題8866・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2013-01-01/ より 引用 Orz〜

1以上の2つの整数に対し、それぞれの数をそれらの数の最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。たとえば、18と12の最大公約数は6なので、18÷6＋12÷6＝3＋2＝5　となります。このことを　[18、12]＝5　と表すことにします。
（1）[ア、イ]＝8　となるような整数ア、イで、アとイの和が16となるようなものを4つ答えなさい。
（2）[12、ウ]＝8　を満たす整数ウを2つ答えなさい。
（3）[30、エ]＝9　を満たす整数エをすべて答えなさい。

(麻布中 平成24年)

解答

・わたしの…

(1)

(a+b)g=16

a+b=8

(g,a,b)=(2,1,7), (2,3,5)

…あれ...?

*あちゃさんからのご指摘です…〜m(_ _)m〜

(ア,イ)=(2,14),(14,2),(6,10),(10,6)

ってことでしたのねぇ ^^;v

(2)

12=2^2*3

g=4…8-3=5…4*5=20

g=12…8-1=7…7*12=84

(3)

30=2*3*5

g=5…9-6=3…3*5=15…x

g=6…9-5=4…4*6=24

g=10…9-3=6…6*10=60…x

g=30…9-1=8…8*30=240

*同じく、あちゃさんからのご指摘で…〜m(_ _)m〜

g=15…9-2=7…7*15=105

が抜けてましたぁ ^^; Orz...

8865：7の倍数...

問題8865・・・http://ss1maeda.exblog.jp/m2012-11-01/ より 引用 Orz〜

次の問いに答えなさい。
①　2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017のうちから7の倍数をすべて選びなさい。
②　1から7までの7個の数字のうち，４個の数字を使って4けたの整数をつくります。同じ数字を何度使ってもよいとき，7の倍数は何通りつくれますか。

(フェリス女学院中 2011年)

解答

・わたしの…

(1)

2011/7=287…2

つまり…2011から5番目の2016

(2)

最後の数字が7種類なので必ず1個あるので…

7^3=49*7=343個

ね ^^