アットランダム≒ブリコラージュ

8896：嗅覚…正六角形と正五角形...

問題8896・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

8895：旧跡...長方形の面積...

問題8895・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35504337.html より Orz〜

　長方形ABCDの 辺AD上に点P，BC上に点Q があり、AQとBPの交点をR，CPとDQの交点をS とします。

　AP＝40，BQ＝85 で 四角形PRQSの面積が長方形ABCDの面積の 1/6 であるとき、AD の長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35524567.html より Orz〜

　右図のように、台形を対角線で４個に分けるとき、上下の三角形は相似で、

　相似比を a：b とすれば、面積比は a²：b² です。

　また、上と左右の三角形の面積比は a：b＝a²：ab です。

　よって、左右の三角形の一方の面積は、台形の ab/(a²＋b²＋2ab)＝ab/(a＋b)² です。

　台形ABQP/長方形ABCD＝(AP＋BQ)/(2AD) ，△PRQ/台形ABQP＝AP･BQ/(AP＋BQ)² だから、

　△PRQ/長方形ABCD＝AP･BQ/｛2AD(AP＋BQ)｝ 、

　同様に、△PQS/長方形ABCD＝PD･QC/｛2AD(PD＋QC)｝ 、

　よって、AP･BQ/｛2AD(AP＋BQ)｝＋PD･QC/｛2AD(PD＋QC)｝＝1/6 、

　QC＝x とすれば AD＝BC＝85＋x，PD＝45＋x ですので、

　40･85/｛2(85＋x)(40＋85)｝＋(45＋x)x/｛2(85＋x)(45＋2x)｝＝1/6 、

　40･85/(40＋85)＋(45＋x)x/(45＋2x)＝2(85＋x)/6 、136/5＋(45＋x)x/(45＋2x)＝85/3＋x/3 、

　(45＋x)x/(45＋2x)＝(17＋5x)/15 、15(45＋x)x＝(45＋2x)(17＋5x) 、

　5x²＋416x−765＝0 、(5x−9)(x＋85)＝0 、x＝9/5 になり、

　AD＝85＋x＝85＋9/5＝434/5 になります。

*同じように考えましたぁ ^^v

QC=x と置くと、
(85+x)/6=(40/2)*(85/125)+(x/2)*(45+x)/(45+2x)
から...x=9/5
つまり...AD=85+9/5=434/5