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S＝sin2(π/84)＋sin2(3π/84)＋sin2(5π/84)＋sin2(7π/84)＋……＋sin2(39π/84)＋sin2(41π/84)
T＝tan2(π/84)＋tan2(3π/84)＋tan2(5π/84)＋tan2(7π/84)＋……＋tan2(39π/84)＋tan2(41π/84) とするとき、 S＝？ T＝？ [解答1]
S＝sin2(π/84)＋sin2(3π/84)＋sin2(5π/84)＋sin2(7π/84)＋……＋sin2(39π/84)＋sin2(41π/84) 、 S＝cos2(41π/84)＋cos2(39/84)＋cos2(37π/84)＋cos2(35π/84)＋……＋cos2(3π/84)＋cos2(π/84) 、 よって、2S＝21 、S＝21/2 です。 tan2(kπ/84)＝1/cos2(kπ/84)−1＝2/｛1＋cos(kπ/42)｝−1 だから、 T＝2/｛1＋cos(π/42)｝＋2/｛1＋cos(3π/42)｝＋……＋2/｛1＋cos(41π/42)｝−21 になりますので、 f(n)＝1/〔1＋cos｛π/(2n)｝〕＋1/〔1＋cos｛3π/(2n)｝〕＋……＋1/〔1＋cos｛(2n−1)π/(2n)｝〕 とすれば、T＝2･f(21)−21 です。 例えば、f(3)＝1/｛1＋cos(π/6)｝＋1/｛1＋cos(3π/6)｝＋1/｛1＋cos(5π/6)｝ ですが、 π/6，3π/6，5π/6 は cos(3θ)＝0 の解で、cos(3θ)＝4cos3θ−3cosθ なので、 cos(π/6)，cos(3π/6)，cos(5π/6) は 4x3−3x＝0 の解になり、 1＋cos(π/6)，1＋cos(3π/6)，1＋cos(5π/6) は 4(x−1)3−3(x−1)＝0 すなわち 4x3−12x2＋9x−1＝0 の解になり、 1/｛1＋cos(π/6)｝，1/｛1＋cos(3π/6)｝，1/｛1＋cos(5π/6)｝ は、 係数を逆にした −x3＋9x2−12x＋4＝0 の解になりなります。 解と係数の関係により、解の和 f(3)＝−9/(−1)＝9 です。 これと同様に、cos(nθ)＝Cn(cosθ) を満たす整式 Cn(x) を考えると、 Cn(x−1) の xの係数を an，定数項を bn とすれば、f(n)＝−an/bn になります。 ここで、cos(0θ)＝1，cos(1θ)＝cosθ だから、
C0(x)＝1，C1(x)＝x 、C0(x−1)＝1，C1(x−1)＝x−1 、a0＝0，b0＝1，a1＝1，b1＝−1 です。 また、cos(n＋1)θ＋cos(n−1)θ＝2cos(nθ)cosθ だから、 Cn+1(x)＋Cn-1(x)＝2x･Cn(x) 、Cn+1(x−1)＝2(x−1)･Cn(x−1)−Cn-1(x−1) 、 １次の係数と定数項は、an+1＝2bn−2an−an-1，bn+1＝−2bn−bn-1 です。 bn+1＋bn＝−(bn＋bn-1) より、(−1)n(bn+1＋bn)＝(−1)n-1(bn＋bn-1) 、 (−1)n(bn+1＋bn) は一定なので、(−1)n(bn+1＋bn)＝(−1)0(b1＋b0)＝0 、 (−1)n+1bn+1＝(−1)nbn になり、(−1)nbn は一定なので、(−1)nbn＝(−1)0b0＝1 、bn＝(−1)n です。 an+1＝2(−1)n−2an−an-1 になります。 (−1)n(an+1＋an)＝(−1)n-1(an＋an-1)＋2 、(−1)n(an+1＋an) は 公差が 2 の等差数列なので、 (−1)n(an+1＋an)＝(−1)0(a1＋a0)＋2n＝2n＋1 、(−1)k(ak+1＋ak)＝2k＋1 、 −(−1)k+1ak+1＋(−1)kak＝2k＋1 に k＝0，1，2，……，n−1 を代入して加えると、 −(−1)nan＋(−1)0a0＝n2 、−(−1)nan＝n2 (−1)nbn＝1 で割って、f(n)＝−an/bn＝n2 です。 よって、T＝2･f(21)−21＝2･212−21＝861 です。 [解答2] 一部たけちゃんさんのコメントを参考に S＝sin2(π/84)＋sin2(3π/84)＋sin2(5π/84)＋sin2(7π/84)＋……＋sin2(39π/84)＋sin2(41π/84) 、 S＝cos2(41π/84)＋cos2(39/84)＋cos2(37π/84)＋cos2(35π/84)＋……＋cos2(3π/84)＋cos2(π/84) 、 よって、2S＝21 、S＝21/2 です。 次に、α，βを π/84，3π/84，5π/84，……，81π/84，83π/84 とします。 tan(α−β)＝(tanα−tanβ)/(1＋tanαtanβ) だから、 α−β≠0 のとき、1＋tanαtanβ＝(tanα−tanβ)/tan(α−β) になり、 1＋tan(3π/84)tan(π/84)＝｛tan(3π/84)−tan(π/84)｝/tan(π/42) 1＋tan(5π/84)tan(3π/84)＝｛tan(5π/84)−tan(3π/84)｝/tan(π/42) 1＋tan(7π/84)tan(5π/84)＝｛tan(7π/84)−tan(5π/84)｝/tan(π/42) ………… 1＋tan(83π/84)tan(81π/84)＝｛tan(83π/84)−tan(81π/84)｝/tan(π/42) 1＋tan(π/84)tan(83π/84)＝｛tan(π/84)−tan(83π/84)｝/tan(π/42) なので、α−β＝π/42，−41π/42 のものをすべて加えると、右辺は 0 です。 α−β＝2π/42，−40π/42 の場合も同様、他の場合も同様なので、 α≠β の条件で、1＋tanαtanβ をすべて加えると 0 です。 α≠β を満たすα，βは 42･41＝1722 通りありますので、 α≠β の条件で、1＋tanαtanβ をすべて加えると −1722 です。 また、tan(π/84)＋tan(3π/84)＋tan(5π/84)＋……＋tan(81π/84)＋tan(83π/84)＝0 の 左辺を２乗し展開すれば、2T−1722 だから、2T−1722＝0 、T＝861 です。 [解答3] uch*n*anさんの解答より 84 のところを一般に 4n として考えます。 S は簡単で，半角の公式と(正4n角形と)正2n角形の対称性から S＝n/2， T の方は次のように考えます。 zk＝cos((2k−1)π/4n)＋i･sin((2k−1)π/4n) (k＝1，2，3，……，2n) とします。 |zk|＝1，1/zk＝cos((2k−1)π/4n)＋i･sin((2k−1)π/4n)，zk4n＝−1， zk2＝｛cos((2k−1)π/4n)＋i･sin((2k−1)π/4n)｝/｛cos((2k−1)π/4n)−i･sin((2k−1)π/4n)｝ ＝｛1＋i･tan((2k−1)π/4n)｝/｛1−i･tan((2k−1)π/4n)｝ ＝−｛tan((2k−1)π/4n)−i｝/｛tan((2k−1)π/4n)＋i｝ xk＝tan((2k−1)π/4n) とおけば zk2＝−(xk−i)/(xk＋i) Σを k＝1 から n の和を表すものとして T＝Σtan((2k-1)π/4n)＝Σxk2 z4n＝(z2)2n＝(xk−i)2n/(xk＋i)2n＝−1， (xk−i)2n＋(xk＋i)2n＝0 これは，xk が次の方程式の解であることを示しています。 (x−i)2n＋(x＋i)2n＝0 ，｛(x−i)2n＋(x＋i)2n｝＝0 これを展開すると 2nＣ0x2n＋2nＣ2x2n-2i2＋……＋2nＣ2ni2n＝0 と x2 の n 次方程式になります。 しかも，xk2＝tan2((2k−1)π/4n) で，xk2 (k＝1，2，3，……，n) はすべて異なり， tan の周期はπより，k ⇔ 2n−k＋1 の対応による xk2 は等しいので， 先ほどの x2 の n 次方程式の解は xk2 (k＝1，2，3，……，n) ですべてと分かります。 そこで，解と係数の関係から， T＝Σxk2＝−2nＣ2i2/2nＣ0＝2nＣ2＝(2n)(2n−1)/2＝n(2n−1) この問題では，84＝4･21 より，n＝21，S＝21/2，T＝21(2･21−1)＝21･41＝861 になります。 *わたしゃtan^2の和の方は十分咀嚼できてましぇん…^^;
直径が1の円に外接する正84角形の対角線の半分の平方の和…
S＝sin^2(π/84)＋sin^2(3π/84)＋sin^2(5π/84)＋sin^2(7π/84)＋……＋sin^2(39π/84)＋sin^2(41π/84) sin^2(π/84)+sin^2(41π/84)=直径^2=1
奇数項だけなので...2k-1=41…k=21→ 1-41, 3-39, …, 17-25, 19-23, 21-21
sin(42π/84)=sin(21π/84+21π/84)=sin(π/2)→ sin(21π/84)=sin(π/4)=1/√2...so...S=20/2+1/2=10+1/2=21/2 tan^2の方も...この先でいけないかと思案したけど…沈没…^^;...
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