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アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2015年08月11日

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9549：何メートル？…クイズ ^^

問題9541・・・http://matome.naver.jp/odai/2134079915625594101 より引用 Orz～

解答

やっと思い付けた ^^v

あれは...視界０の霧の日でしたわ ^^;

9548：△と内接円の接点...

問題9548・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35983311.html#35983311 より Orz～

　△ABCの辺BC，CA，ABとその内接円との接点をそれぞれ D，E，F とします。

　チェバの定理の逆により AD，BE，CF は１点で交わりますが、その交点をPとして、

　BP/BE＝4/5，CP/CF＝3/4 のとき、AP/AD＝？　また、BC：CA：AB＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36001134.html より Orz～

[解答1]

　AE＝AF＝a，BF＝BD＝b，CD＝CE＝c とします。

　メネラウスの定理により、(AP/PD)(DB/BC)(CE/EA)＝1 、(AP/PD)｛b/(b＋c)｝(c/a)＝1 、

　AP/PD＝a(b＋c)/bc 、AP：PD＝a(b＋c)：bc 、AP：AD＝AP：(AP＋PD)＝(ca＋ab)：(bc＋ca＋ab) 、

　AP/AD＝(ca＋ab)/(bc＋ca＋ab) 、

　同様に、BP/BE＝(ab＋bc)/(bc＋ca＋ab)，CP/CF＝(bc＋ca)/(bc＋ca＋ab) になります。

　よって、AP/AD＋BP/BE＋CP/CF＝2 になり、AP/AD＋4/5＋3/4＝2 、AP/AD＝9/20 です。

　次に、(ca＋ab)：(ab＋bc)：(bc＋ca)＝AP/AD：BP/BE：CP/CF＝9/20：4/5：3/4＝9：16：15 、

　ca＋ab＝9k，ab＋bc＝16k，bc＋ca＝15k とおけば、2(bc＋ca＋ab)＝40k 、bc＋ca＋ab＝20k 、

　bc＝11k，ca＝4k，ab＝5k 、bc：ca：ab＝11：4：5 です。

　(ca＋ab)：(ab＋bc)：(bc＋ca)＝9：16：15 と併せて、

　(ca＋ab)bc：(ab＋bc)ca：(bc＋ca)ab＝9･11：16･4：15･5 、

　(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝99：64：75 、BC：CA：AB＝99：64：75 になります。

[解答2]

　PD：AD＝△PBD：△ABD＝△PCD：△ACD＝(△PBD＋△PCD)：(△ABD＋△ACD)＝△PBC：△ABC 、

　よって、△PBC＝(PD/AD)△ABC 、同様に、△PCA＝(PE/BE)△ABC ，△PAB＝(PF/CF)△ABC です。

　△PCA＝(PE/BE)△ABC＝(1－BP/BE)△ABC＝(1－4/5)△ABC＝(1/5)△ABC 、

　△PAB＝(PF/CF)△ABC＝(1－CP/CF)△ABC＝(1－3/4)△ABC＝(1/4)△ABC 、

　△PBC＝△ABC－△PCA－△PAB＝(1－1/5－1/4)△ABC＝(11/20)△ABC です。

　△PBC＝(PD/AD)△ABC＝(1－AP/AD)△ABC＝(11/20)△ABC だから、AP/AD＝9/20 です。

　BD：DC＝△ABD：△ACD＝△PDB：△PCD＝(△ABD－△PDB)：(△ACD－△PCD)＝△PAB：△PCA 、

　よって、BD：DC＝△PAB：△PCA＝1/4：1/5＝5：4 、

　同様に、CE：EA＝△PBC：△PAB＝11/20：1/4＝11：5 、

　AF：FB＝△PCA：△PBC＝1/5：11/20＝4：11 、

　AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE に注意して、BD：DC＝55：44 ，CE：EA＝44：20 ，AF：FB＝20：55 、

　BC：CA：AB＝(55＋44)：(44＋20)：(20＋55)＝99：64：75 です。

*これは面白い問題でしたぁ♪

メネラウスの定理の使い方いまだわからず…

△PCE=1,△PBC=4,△PBF=4/3, △PAF=x, △PAE=y
4y=4/3+x, 3x=y+1
x=16/33, y=5/11
AP/AD=(4/3+16/33+5/11+1)/(AP+4)
=(36/11)/(36/11+4)
=9/20

9a*1b*sinα/2=5/11, 4b*11a*sinα/2=20/9・・・
9ab=5/11, 44ab=20/9・・・ab=5/99
9ac=16/33・・・ac=16/(9*33)
4bc=4/3・・・bc=1/3

a,b,cはそれぞれの直線の1単位の比率だから…

20a, 5b,4c で考えなきゃいけませんでした…^^;v
ab=5/99, bc=16/(9*33), bc=1/3
abc=4√5/(9*11)
a=4√5/33, b=3√5/4, c=4√5/5
BC : CA : AB=1/(20a) : 1/(5b) : 1/(4c)
=33/80 : 4/15 : 5/16・・・240を掛けると...
=33*3 : 4*16 : 5*15
=99 : 64 : 75