アットランダム≒ブリコラージュ

9587：同じカードの和は？...頭の体操 ^^

画像：http://b-o-y.me/archives/2549 より 引用 Orz〜

カシスビア

*言ってみれば...コークハイみたいなものね ^^

問題9587・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

1〜13の数字が1つずつ書かれたカードがそれぞれ４枚ずつ、合計52枚あります。いま、26人にこのカードを２枚ずつ配ったところ、田中君と鈴木さんのカードの和だけが等しく、他の人たちのカードの和はすべて異なっていました。田中君の２枚のカードの和を求めなさい。

（２００９年算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

勘みたいな解法…^^;

偶数

1,2,3,…,13

1,2,3,…,13

奇数

1,2,3,…,12

2,3,4,…,13

これで、13+12=25人すべて異なる…

残りの...

13+1=14は、偶数の組に重なってる…^^

*きょうは…ここまでぇ〜OrZzzz…

*別解…

まず、26人全員同じ数14=1+13=2+12=…=7+7　にできるのでしておく…

1〜13で異なる数は…2〜26までの25種類なので…それができるというのでできたとする…but...最後の一人は14のままであり、その数が重なっているわけね ^^v

・鍵コメY様からのもの Orz〜

カード全部の和は (1＋2＋3＋……＋13)×4＝91×4＝364 、
２枚の和は 2，3，4，……，26 の 25種類だから、
田中君以外のカードの和は 2＋3＋4＋……＋26＝350 、
田中君のカードの和は 364−350＝14 しか考えられません。

厳密には、実際にその場合があることを示さなければなりません。例えば、
1＋1，1＋2，1＋3，2＋3，2＋4，2＋5，3＋5，3＋6，4＋6，4＋7，4＋8，5＋8，5＋9，6＋9，
6＋10，7＋10，8＋10，8＋11，9＋11，9＋12，10＋12，11＋12，11＋13，12＋13，13＋13
で、2〜25 が表され、7＋7 が残ります。

*この証明はパーフェクトですね☆

9586：円内の点とその角...

問題9586・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html より Orz〜

　円周上に 弧AB：弧BC：弧CD：弧DE：弧EA＝6：17：20：11：12 となるように 点A，B，C，D，Eをとり、

　線分BDとCEの交点をPとするとき、∠APE＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36022851.html#36022851 より Orz〜

[解答1]

　APの延長と円の交点をF，弧CF＝c ，弧FD＝d とすれば、c＋d＝20 ，6＋17＋c＋d＋11＋12＝66 です。

　３本の弦が１点で交わる条件( http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36009827.html )より、

　sin(6π/66)sin(cπ/66)sin(11π/66)＝sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(12π/66) 、

　2sin(π/11)sin(cπ/66)sin(π/6)＝2sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(2π/11) 、

　sin(π/11)sin(cπ/66)＝4sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(π/11)cos(π/11) 、

　sin(cπ/66)＝4cos(8π/33)cos(3π/33)sin(dπ/66)＝2｛cos(11π/33)＋cos(5π/33)｝sin(dπ/66) 、

　sin(cπ/66)＝sin(dπ/66)＋2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

　sin(cπ/66)−sin(dπ/66)＝2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

　2cos｛(c＋d)π/132｝sin｛(c−d)π/132｝＝2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

　cos(5π/33)sin｛(c−d)π/132｝＝cos(5π/33)sin(dπ/66) 、sin｛(c−d)π/132｝＝sin(dπ/66) 、

　(c−d)π/132，dπ/66 は鋭角だから、(c−d)π/132＝dπ/66 、c＝3d 、

　c＋d＝20 と連立し、c＝15，d＝5 です。

　∠APE＝∠ACE＋∠CAF＝12π/66＋cπ/66＝27π/66＝9π/22 です。


[解答2]

　円周の 1/66 の弧の円周角は π/66 ですので、

　∠ADB＝π/11，∠CAD＝10π/33，∠DCE＝π/6，∠ECA＝2π/11 です。

　また、∠ACD＝∠ADC＝23π/66 だから、AC＝AD です。

　次に、△ACDの外部に正三角形ADQを描くと、１つの内角は π/3 です。

　ここで、∠CAQ＝∠CAD＋∠DAQ＝10π/33＋π/3＝7π/11 、

　AC＝AQ より ∠ACQ＝∠AQC＝(π−∠CAQ)/2＝(π−7π/11)/2＝2π/11＝∠ECA となって、

　E，Pは線分CQ上にあることになります。

　∠PQD＝∠AQD−∠AQP＝∠AQD−∠AQC＝π/3−2π/11＝5π/33 、

　∠QDP＝∠QDA＋∠ADB＝π/3＋π/11＝14π/33 、

　∠QPD＝π−∠PQD−∠QDP＝π−5π/33−14π/33＝14π/33＝∠QDP となって、QP＝QD＝QA です。

　よって、∠APE＝∠APQ＝(π−∠AQP)/2＝(π−∠AQC)/2＝(π−2π/11)/2＝9π/22 になります。


[参考]

　四角形PABCにおいて、∠ABP＝23π/66 ，∠PBC＝10π/33 ，∠BCA＝π/11 ，∠ACP＝2π/11

　として、∠CAP＝cπ/66 を 求める問題にすると、ラングレーの問題(Langley's Problem)です。

*これはお手上げ…^^;;

仮定で…^^;;

何の根拠もないままに…^^;
しいて言うと…10-11-(6-6)-12-11-10
11-11を結ぶ交点とAを結んだ弦は直径…その端点をA'とすると...
APを延長したら…円弧A'Dが等分されてるように見えたから…^^

対称と想定して…66-23-16=27
(27/66)*180=27*30/11=810/11 °

で…当たりましたとさ Orz...

9585：旧跡...正三角形の並びと切断線…パズル ^^

シャンディーガフ

「ビール＋ジンジャーエール（１：１）」

*これはわたしゃバージンドリンクあるね ^^v

問題9585・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のように，面積が３６ｃ㎡の正三角形９個を並べて，台形ＡＢＣＤを作りまし.た｡

また，AB上に ＡＰ：ＰＢ＝１：５ となる点Ｐをとり，点Ｃと給びました。

色のついた９個の三角形の面積の和は何ｃ㎡ですか。

（２０１５年　明治大学付属中野中学）

解答

・わたしの…

これもよく見る問題ね ^^

↑

いいかげんな計算でした^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

式は正しいと思いますが，計算が変です．
36*(1/6)*(1/5)*(2+32+8+18+25)=102

*なるほど...まとめてしまうのが間違いがぐっと減りますわね☆

9584：嗅覚…有名問?...頭の体操 ^^

ミモザ

「この世でもっともおいしくてぜいたくなオレンジジュースといわれる、

シャンパンベースのカクテル。」

*これは飲んだことあります♪

わたしの好きな柑橘系のカクテルあるね ^^

問題9584・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/chonanmon/ より 引用 Orz〜

図において，ＡＥ＝ＥＢ，AD＝BCのとき，角アの大きさは何度ですか。

ただし，３点Ａ，Ｅ，Ｂと３点C，D，Eはそれぞれ一直線上にあるとします。

(早稲田大学高等学院中等部)

解答

・わたしの…

いつかどこかで見た気がする…^^

Eを中心に回転してAをBにくっつけると…

△B(A)DCは二等辺三角形

so…

ア=36°

ね ^^

9583：旧跡…クイズ ^^

キティ

「赤ワインが苦手な人がワイン好きになるカクテルです！

赤ワインってこの酸味、香りが良かったんだ。。」

*これも飲んだことないなぁ…^^;☆

問題9583・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図のように正六角形の頂点が半径６ｃｍの円周上にあります。

影をつけた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

円周率は３．１４とします。

（２０１５年　芝中学）

解答

・わたしの…

これはいいですね ^^