アットランダム≒ブリコラージュ

9637：ファジーな面白い問題 ^^

問題9637・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図の影をつけた部分の面積はおよそ何ｃ㎡ですか。

最も近いものを次のア〜オの中から選んでください！

ア､７．６ｃ㎡　　イ､８ｃ㎡　　ウ､９．２ｃ㎡　　エ､１４．４ｃ㎡　　オ１６ｃ㎡

（共立女子中学　２０１１年）

解答

上記サイトへ Go〜☆

なるほどねぇ ^^;v

9636：正方形上の辺上を走るボルト ^^

愛猫の誕生日ケーキ ? ^^

問題9636・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

美しい解法があるんですねぇ☆

9635：複素数列の積の絶対値...

問題9635・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36038467.html ;

より Orz〜

　z₁＝1，z_n+1＝1/z_n＋2i (n＝1，2，3，……) で与えられる数列｛z_n｝があります。

　この数列において、|z₁･z₂･z₃･……･z₂₂|²＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36058078.html より Orz〜

[解答1]

　z_n+1−i＝1/z_n＋i＝(1＋iz_n)/z_n 、

　1/(z_n+1−i)＝z_n/(1＋iz_n)＝−iz_n/(z_n−i)＝−i＋1/(z_n−i) 、

　数列｛1/(z_n−i)｝は 公差が −i の等差数列となり、

　1/(z_n−i)＝1/(z₁−i)−(n−1)i＝1/(1−i)−(n−1)i＝(1＋i)/2−(n−1)i＝｛1−(2n−3)i｝/2 、

　z_n−i＝2/｛1−(2n−3)i｝＝2｛1＋(2n−3)i｝/｛1＋(2n−3)²｝＝｛1＋(2n−3)i｝/(2n²−6n＋5) 、

　z_n＝｛1＋(2n−3)i｝/(2n²−6n＋5)＋i＝｛1＋(2n²−4n＋2)i｝/(2n²−6n＋5) 、

　|z_n|²＝｛1＋(2n²−4n＋2)²｝/(2n²−6n＋5)² 、

　ここで、

　1＋(2n²−4n＋2)²＝4(n−1)⁴＋1＝4(n−1)⁴＋4(n−1)²＋1−4(n−1)²

　 ＝｛2(n−1)²＋1｝²−｛2(n−1)｝²＝(2n²−4n＋3)²−(2n−2)²＝(2n²−2n＋1)(2n²−6n＋5) だから、

　|z_n|²＝(2n²−2n＋1)/(2n²−6n＋5) です。

　f(n)＝2n²−2n＋1 とおけば f(n−1)＝2(n−1)²−2(n−1)＋1＝2n²−6n＋5 なので、

　|z_n|²＝f(n)/f(n−1) 、n＝1，2，3，……，n として 乗じると、|z₁･z₂･z₃･……･z_n|²＝f(n)/f(0)＝f(n) 、

　|z₁･z₂･z₃･……･z₂₂|²＝f(22)＝925 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

　z₁･z₂･z₃･……･z_n＝p_n とおく．ただし， p₀＝1 と定める．

　p_n+1＝p_nz_n+1＝p_n(1/z_n＋2i)＝p_n-1＋2i･p_n ．

　p_n+1−i･p_n＝i･p_n＋p_n-1＝i(p_n−i･p_n-1) ．

　これより， p_n+1−i･p_n＝iⁿ(p₁−i･p₀)＝iⁿ(1−i) を得る．

　p_n+1/iⁿ⁺¹−p_n/iⁿ＝(1−i)/i＝−(1＋i) となるから，

　p_n/iⁿ＝p₀/i⁰−(1＋i)n＝1−(1＋i)n＝(1−n)−i･n ，

　したがって，|p_n|²＝(n−1)²＋n² ．

　求めるものは，|p₂₂|²＝21²＋22²＝925 ．

*[解答2]は惚れ惚れ☆

わたしゃまったく気付けず…

地道に逆から計算…^^;;
X22*X21=1+2i*X21
*X20=X20+2i(1+2i*X20)=-3X20+2i
*X19=-3(1+2iX19)+2i*X19=-4i*X19-3
*X18=-4i(1+2iX18)-3*X18=5X18-4i
*X17=5(1+2iX17)-4iX17=6iX17+5
*X16=6i(1+2i*X16)+5X16=-7X16+6i
*X15=-7(1+2i*X15)+6i*X15=-8i*X15-7
*X14=-8i(1+2i*X14)-7X14=9X14-8i
*X13=9(1+2i*X13)-8i*X13=10i*X13+9
*X12=10i(1+2i*X12)+9X12=-11X12+10i

*X11=-11(1+2i*X11)+10i*11=-12i*X11-11
*X10=-12i(1+2i*X10)-11X10=13X10-12i
*X9=13(1+2i*X9)-12i*X9=14i*X9+13
*X8=14i(1+2i*X8)+13X8=-15X8+14i
*X7=-15(1+2i*X7)+14i*X7=-16i*X7-15
*X6=-16i(1+2i*X6)-15X6=17X6-16i
*X5=17(1+2i*X5)-16i*X5=18i*X5+17
*X4=18i(1+2i*X4)+17X4=-19X4+18i
*X3=-19(1+2i*X3)+18i*X3=-20i*X3-19
*X2=-20i*(1+2i*X2)-19X2=21X2-20i
*X1=21(1+2i*X1)-20i*X1=22i*X1+21=21+22i
so…
21^2+22^2=925

*100kmマラソンランナーの気持ちとちょっぴり通じるものあるか…?

途中で気が遠くなり、折れそうな気持ちを奮い立たせてのゴール…

そんな自分を誉めてやりたい…^^;v