アットランダム≒ブリコラージュ

9650：旧跡...直角三角形の重なり...頭の体操 ^^

問題9650・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように、直角二等辺三角形ＡＢＣと直角三角形ＤＥＦがあります。

色をつけた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

（２０１５年　女子学院中学）

解答

・わたしの…

*算数じゃどうするんだろ…^^;…?

・あちゃさんからのもの Orz〜

左の三角形は底辺と高さが３：４
右の三角形は底辺と高さが１：１、高さを揃えて４：４
つまり下の三角形は下辺左３、下辺右４、高さ４
底辺の全長は２１だから、９：１２：１２
(6+12)*6*1/2＋(12+4/3)*8*1/2=322/3

*そっかそっか…グラッチェ〜☆^^☆

9649：線対称な作図…クイズ ^^

問題9649・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図は線対称な図形の一部です。

この図形の面積は２１ｃ㎡ということがわかっています。

この図を完成させてください。だたし、１目盛りを１ｃｍとします。

（２０１５年　玉川学園中学）

解答

・わたしの…

9648：正方形の合同分割...頭の体操 ^^

問題9648・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

１辺の長さが24cmの正方形の紙を、左図のように同じ形をした４つの紙に切り分けました。これら４つの紙を、右図のように大きな正方形ができるようにおきかえたところ，斜線の部分のような１辺の長さが10cmの正方形のすきまができました。

①図２の[ア]にあてはまる数を答えなさい。

②図１の[イ]にあてはまる数を答えなさい。

（浦和明の星女子中学　２０１３年）

解答

・わたしの…

a+b=24

a-b=10

a=17, b=7・・・イ=17 cm

4x^2=24^2+10^2=(20+4)^2+10^2=500+160+16=676

x^2=169

x=13 cm

^^

9647：サーティワンアイスの体積...

問題9647・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36047279.html ;

より Orz〜

　図は直径が 51 の球の一部Ａと円錐Ｂと組み合わせた立体で、円錐の母線は球面と接しています。

　Ａの部分とＢの部分の表面積が等しいときのこの立体の体積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36066208.html より Orz〜

[解答]

　半径が r の球は 円 x²＋y²＝r² を x軸の周りに回転させてできます。

　そのうちの a≦x≦b (−r≦a＜b≦r) の部分について、

　体積は π∫_a^b y²dx＝π∫_a^b (r²−x²)dx＝π{r²[x]_a^b−(1/3)[x³]_a^b}

　 ＝(π/3)(b−a)(3r²−b²−ab−a²) になり、

　x²＋y²＝r² を xで微分すると 2x＋2yy'＝0 より yy'＝−x だから、

　表面積は 2π∫_a^b y√{1＋(y')²}dx＝2π∫_a^b √{y²＋(yy')²}dx＝2π∫_a^b √{y²＋(−x)²}dx＝2πr∫_a^b dx

　 ＝2πr(b−a) になります。

　母線とこの円の接点を(p，q) (p＞0，q＞0)とすれば、接線は px＋qy＝r² だから、(r²/p，0)で x軸と交わります。

　(母線の長さ)²＝(r²/p−p)²＋q²＝r⁴/p²−2r²＋p²＋q²＝r⁴/p²−r²＝(r²/p²)(r²−p²)＝q²r²/p² だから、

　(母線の長さ)＝qr/p です。

　よって、体積と 半径がｑの円を除く表面積は次のようになります。

　Ａの体積 (π/3)(p＋r)(3r²−p²＋pr−r²)＝(r＋p)²(2r−p)π/3

　Ｂの体積 (π/3)q²(r²/p−p)＝(r²−p²)²π/(3p)＝(r＋p)²(r−p)²π/(3p)

　Ａの表面積 2πr(p＋r)

　Ｂの表面積 πq²r/p＝π(r²−p²)r/p＝π(r＋p)(r−p)r/p

　ＡとＢの表面積が等しいとき、2πr(p＋r)＝π(r＋p)(r−p)r/p 、2＝(r−p)/p 、p＝r/3 、

　立体の体積は、

　(r＋p)²(2r−p)π/3＋(r＋p)²(r−p)²π/(3p)＝(r＋p)²｛(2r−p)p＋(r−p)²｝π/(3p)

　 ＝(r＋p)²r²π/(3p)＝(r＋r/3)²rπ＝16r³π/9 です。

　本問では、2r＝51 ですので、16r³π/9＝2(2r)³π/9＝2･51³π/9＝29478π＝92607．868…… です。


[参考]

　体積を求めるとき、下図のように、

　Ａが球の中心まで円錐状にくぼんだ立体，Ｂが２つの円錐を合わせたものと考えれば、

　Ａの球面の部分の面積は 2πr(p＋r)＝2πr(r/3＋r)＝8πr²/3 だから、

　Ａの体積は、底面積が 8πr²/3 で 高さが r の円錐の体積と等しく、8πr³/9 、

　Ｂの体積は、底面積が πq²＝π(r²−p²)＝π(r²−r²/9)＝8πr²/9 ，

　高さが r²/p＝r²/(r/3)＝3r の円錐の体積と等しく、8πr³/9 です。

　両方の体積が等しく、合わせた体積は 2･8πr³/9＝16πr³/9 です。

*これは、球冠・球帯の面積が円柱の側面積と等しいことを覚えていたのと、

[参考]のことに気付けたのでなんとかゴールできました♪

2r*(r+h)=(r/h)*(r^2-h^2), r=51/2
2h=(r-h)・・・3h=r・・・h=51/6

球の体積の方は…表面積分が減り、切断面の円錐分を加えればいいはず…
全体2,下の減る部分は2/3
so…2 : 2/3=3 : 1

Bの体積=(8/9)*(8/3)*(1/3)*(51/2)^3*π
=(64/81)*(51/2)^3*π

Aの体積=((4/3)*(2/3)+(8/9)*(1/9))*(51/2)^3*π

=(80/81)*(51/2)^3*π

so…
A+B=((64+80)/81)*(51/2)^3*π
=29478*π