アットランダム≒ブリコラージュ

9752：5*m^2の下２桁の数...

問題9752・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141217

より 引用 Orz〜

自然数ｍについて、５ｍ^４
の下２桁として現れる数を全て求めよ。
ただし十の位の0の有無は無視してよい。

（東京大学・2007年）

解答

・わたしの…

5(m^4-1)

m=4n,4n±1

m=4n のとき…

256*n^4

280*n^4・・・80,60,40,00

m=4n±1のとき…85,65,45,05

ね ^^

9751：α^2003以下の最大の下一桁の値...

問題9751・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141217

より 引用 Orz〜

x^2 - 4x - 1 ＝0 の大きい方の解をαとするとき、
α^2003以下の最大の整数の1の位を求めよ。

（東京大学・2003年）

解答

・わたしの…

(x-2)^2=5

x=√5+2, 2-√5

α^2003+β^2003=

2^2004+…+2003*2*2で途中は10倍

so…2-4-8-6-2・・・

(2^5)^400*2^4・・・

(2^5)^80=(2^5)^16=(2^5)^3*2

so…

2^4*2^4=2^3

so…

2^3+2=0

0>β^2003>-1

so…α^2003以下の整数の下一桁は 9

ね ^^

9750：格子点△...

問題9750・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141217

より 引用 Orz〜

三角形ABCの頂点がいずれも格子点で、
ABとACのいずれの両端を除く辺の上にも格子点が３個ずつあるとき、
三角形ABCの面積が８の倍数であることを示せ。

（東京大学・1992年）

解答

・わたしの…

4の倍数*4の倍数ー3*4の倍数*4の倍数/2

=16の倍数-8の倍数

だから、8の倍数 ね ^^

9749：平面上の互いに１以上離れている10個の点...

問題9749・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141207

より 引用 Orz〜

平面状に１０個の点があり，どの２点間の距離も１以上であるとき，
ちょうど１離れた２点は３０対以下であることを示せ。

（出典：北京市数学コンテスト）

解答

これ問題おかしくないですかねぇ…^^;

19対以下しか取れないと思うんだけど…?

9748：100以下の奇数の積の下３桁...

問題9748：http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141207

より 引用 Orz〜

１以上１００以下の奇数をすべて掛け合わせた数の下３桁は？

（出典：JJMO）

解答

・わたしの…

100!=2^97*奇数の積

100/2=50

50/2=25

25/2=12

12/2=6

6/2=3

3/2=1

so…

2^97*5の倍数=0　mod 1000

2^97=24^9*2^7

=3^9*2^34=3^9*24^3*2^4

=3^12*2^13=3^12*24*2^3

=3^13*2^3

3^4=81, 3^6=729, 3^7=187, 3^8=561, 3^9=683, 3^10=49

=49*3^3*2^3

=49*6^3

=584

584*m=0　mod 1000

100/5=20

20/5=4

5^24

584*(10a+25)=840*a+600

840*(10b+c)+600=400*b+840*c+600=0

c=5

400b+800=0

b=8

けっきょく…

875 ね ^^

じっさい…

100!/(2^50*50!)=

♪