アットランダム≒ブリコラージュ

9760：対角線の長さ...

シルエットで遊んでみた…^^

今の自分も…ほんとは...

もっともっとちっちゃなシルエットだったりして…^^;;

問題9760・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問です…

巧い方法があるもんだ ^^;...

9759：1〜6を使った４桁の７の倍数の個数...

問題9759(友人問)

各桁の数字が1,2,3,4,5,6　のいずれかである4桁の自然数のうち、

7の倍数はいくつあるか。

解答

・わたしの…

奇しくもこれは...算チャレで遭遇してましたね ^^

その数を7で割った余りに対して、もう一つ数を増やせば...

必ず、1-6,2-5,3-4 と7の倍数にできる…

4桁の数で7の倍数=3桁で７の倍数ではない

f(k):k桁の７の倍数のものと、g(k-1):そうでないものとは１：6

so…

g(1)=6=f(2)

g(2)=6^2-6=f(3)

g(3)=f(4)=6^3-(6^2-6)=6^3-6^2+6=216-36+6=186個

ね ^^

9758：下1000桁の魁(さきがけ)と殿(しんがり)...

問題9758・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36104922.html#36104922 より Orz〜

　N＝₁₀₀₀Ｃ₁₀₀₀･29⁹⁹⁹＋₁₀₀₀Ｃ₉₉₉･29⁹⁹⁸＋₁₀₀₀Ｃ₉₉₈･29⁹⁹⁷＋……＋₁₀₀₀Ｃ₂･29¹＋₁₀₀₀Ｃ₁･29⁰


　で与えられる自然数Nの下1000桁の始まりの３桁と終わりの３桁は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36123577.html より Orz〜

　二項定理により、29N＋1＝29N＋₁₀₀₀Ｃ₀＝(29＋1)¹⁰⁰⁰＝30¹⁰⁰⁰ 、

　N＝(30¹⁰⁰⁰−1)/29 です。

　N＝1＋30＋30²＋30³＋……＋30⁹⁹⁹ ですので、下３桁が 931 であることはすぐに分かります。

　次に、N＋1/29＝30¹⁰⁰⁰/29 の小数部分は 1/29 で、

　1/29＝0．03448275862068965517241379310344827586206896551724137931…… であり、

　循環節が28桁の純循環小数になります。

　29N＋1＝30¹⁰⁰⁰ だから、(29N＋1)/10¹⁰⁰⁰＝3¹⁰⁰⁰ も自然数で、

　3¹⁰⁰⁰ を 29 で割った余りを k とすれば、k≠0 だから、

　3¹⁰⁰⁰/29 の小数部分は k/29 になり、始まり位置を無視すれば同じ28桁の循環節をもちます。

　したがって、N＋1/29 は下1000桁から循環していることになり、

　1000 を 28 で割った 商は 35 で 余りは 20 だから、

　Nの下1000桁は、循環節の下20桁である 86206896551724137931 の後に、

　循環節の 0344827586206896551724137931 を 35回繰り返したものです。

　よって、下1000桁の始まりの３桁は 862 、終わりの３桁は 931 です。

*ちょいいい加減でした…^^;

29N+1=30^1000
29N=3^1000*10^1000-1
so…Nは29を掛けると下1000桁に9が1000個並ぶ数
1/29=0.0344827586206896551724137931 の循環
29*0.034/48275/86206/89655/17241/37931=0.99…9 (9が28個並ぶ)・・・下5桁ずつを/で区切ってみた...
so…Nの下1000桁の下3桁は931のはずで、上3桁は…
1000/28=35…20余り
so...上の循環小数の下から20桁目〜22桁目=862
でなけりゃ掛けたとき99…9にはできないと思うので…
けっきょく、
(上3桁、下3桁)=(862, 931)

・友人からのもの Orz〜

例えば簡単のため、電卓で出来る30^8では

N=(30^8-1)/29=(30^8)/(30-1)

30^8=656100000000　　30^8-1=656099999999

6560=226*29+6　で余り6だから

699……../29=2413……..　で最初の3桁は241　という具合にしました

 

二項定理より、N=(30^1000-1)/29=(30^1000)/(30-1)

=30^999+30^998+……+30^2+30+1

よって終わり3桁は931

始まりの3けたについて、30^1000-1を29で筆算で割り算することを考える

3^1000の並びに0が1000個つけて、-1だから

3^1000-1の並び(Aとする)に9が1000個である

フェルマの小定理より　3^28≡1　mod　29

3^1000≡3^20≡(3^3)^6*3^2≡(-2)^6*9≡576≡25

よって　3^1000-1≡24

よって249999……　をじっさいに29で割り算して最初は862068

よって始まり3桁は862

*なるほど☆

9757：推測計算…クイズ ^^

何だか１日１食で足りるかなぁ=一日一膳 ^^

問題9757(某サイト問 Orz〜)

解答

・わたしの…

A=9

B=12

だと思うんだけど ^^;…?

9756：求長...頭の体操 ^^

問題9756・・・http://minoehon.cocolog-nifty.com/anime/#_ga=1.106854275.1098583858.1333881279 より 引用 Orz〜

図において、ＡＣの長さは ８ｃｍです。

また、ア、イの 角の大きさは共に ６０度です。

直線ＡＣ，ＢＤ が交わる点 をＥ とするとき、次の問に答えなさい。

（１）ＡＥ の長さを求めなさい。

（２）三角形ＡＥＤ の面積は、１辺の長さが１ｃｍの正三角形の面積の何倍ですか。

（２０１５年灘中学）

解答

・わたしの…

ACを軸に折り戻したら…

3+5/2=5.5

8-5/2=5.5

so…BD=ADの二等辺三角形…

8/5=3/EC・・・EC=15/8

AE=8-15/8=49/8 cm

3*(15/8)=45/8 倍

^^