2015年09月22日の記事一覧 - 詳細表示

9781：連続した5つの数がいずれも倍数...

問題9781・・・http://www.junten.ed.jp/news/wp-content/uploads/2013/04/d51fa0505c2971bf855f07a7efef246a.pdf より引用 Orz～

連続した5つの整数がいずれも倍数であることが保証される最大の自然数は？

(*この問題文の"最大"は"最小"のミスですよね?)

↑

この問題は本来以下のごときものだったのでは？

という筋肉の申し子さん、鍵コメT様からのご意見にて ^^;... Orz～

↓

『「連続する5整数の積はaの倍数である」が保証される最大のaは？』

解答

・わたしの…

2,3,4,5,6 の５個の数で割れるように、6!

この6!+2～6!+6までは明らかに満たしており、最小ね ^^

と思ったら…

6!-6

6!-5

6!-4

6!-3

6!-2

の方が小さくて満たしてますね ^^;v

・鍵コメT様からのもの Orz～

本問の意図は多分，
「連続する5整数の積はaの倍数である」が保証される最大のa
を問うところにあります．
(結論は5!=120です．)

連続する5整数がいずれも合成数であるような最小の自然数だとすると，
「保証される」が意味不明であり，また結論は24,25,26,27,28です．

*いずれにせよ...わたしのは間違ってましたぁ…^^;; Orz…

5個連続には必ず５の倍数があるから、

4!=24

4!±1が合成数であればいいので…

23 , 25

24,25,26,27,28

ってわけね ^^;v

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9780：2^n の最上桁が1である確率...

問題9780・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150305

より引用 Orz～

nを自然数として，2のn乗の最上桁が１である確率は？

解答

・わたしの…

2倍したら桁が上がる…=最上桁が1

k乗目の最上位の桁=1になる確率：p(k)

k乗目の最上位の桁が1にならない確率：q(k)

1-2

2,3,4-4,6,8

5-6-7-8-9-(1)

k+1乗のとき…

p(k+1)=(5/8)*q(k)

q(k+1)=p(k)+(3/8)*q(k)

p(k)+q(k)=1

p(k+1)+q(k+1)=1

無限乗のときは…

p(n+1)=p(n)=(5/8)*q(n)=(5/8)*(1-p(n))

(13/8)*p(n)=5/8

p(n)=5/13

...ってなもんや三度笠…?...^^;

どうも違うようで…^^;

2倍したら桁が増える…

log(2m)=log2+log(m)

において、log(m) の小数にlog2を加えたら1以上になることで...

1-log2がその前の1でない確率…

so…1である確率=log2

ってな...^^;…?

*ベンフォードの法則からしても…

log((1+1)/1)=log2

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/872_b.htm

https://ja.wikipedia.org/wiki/ベンフォードの法則

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9779：2^n-2 が n の倍数...

問題9779・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150305

より引用 Orz～

2^n - 2 が n の倍数であるとき，これを満たす合成数 n を見つけよ。
また，このような合成数 n は無数に存在するか？

解答

・わたしの…

2^(n-1)-1を割り切る合成数なので…いわゆるカーマイケル数であればよく、これは無限にあることが証明されている…

https://ja.wikipedia.org/wiki/カーマイケル数より Orz～

「カーマイケル数（カーマイケルすう、Carmichael number）とは、自身と互いに素である任意の底でフェルマーテストを通過する合成数である。アメリカの数学者ロバート・ダニエル・カーマイケル（Robert Daniel Carmichael）に因んでこう呼ばれる。また、絶対擬素数 (absolute pseudoprimes) とも呼ばれる。・・・

すなわち、合成数 n がカーマイケル数であるとは、自身と互いに素である任意の自然数 a に対し、

a^{n-1} \equiv 1 \pmod n

を満たすことをいう。

カーマイケル数は小さい方から

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, …（オンライン整数列大辞典の数列 A2997）

であり、無数に存在することが知られている。ただし、n が大きくなるにつれてカーマイケル数は極めて稀になっていく。たとえば、1 から 10²¹ の間には 20,138,200 個のカーマイケル数があり、これはおよそ 5*10¹³個にひとつの割合である。・・・

カーマイケル数 n は、その全ての素因子 p に対して p - 1 が n - 1 を割り切るという特徴を持つ。例えば2821を例に取ると、

2821 = 7 * 13 * 31

2821-1 = 2820 = (7-1) * 470 = (13-1) * 235 = (31-1) * 94

である。逆に、この性質を持ち、平方因子を持たない合成数はカーマイケル数である。カーマイケル数は、少なくとも3個以上の異なる素数の積である。」

https://ja.wikipedia.org/wiki/ツァイゼル数より Orz～

「6m + 1, 12m+ 1, 18m + 1 が全て素数であるならば、その積 (6m + 1)(12m + 1)(18m + 1) はカーマイケル数であることが知られている。」

*2^(6m)≡1

2^(12m)≡1

2^(18m)≡1

so…

2^((6m+1)(12m+1)(18m+1)-1)=2^(1296m^3+396m^2+36m)≡1

こんな巧い組み合わせってどうやって見つけるんだろう ^^;…?

さいころを繰り返し振って，出た目を足してゆくとき，
いつか和が1995となる確率は？
（出典：大学への数学）

解答

・わたしの…

1995/7=285

1-6,2-5,3-4

6/6^2=1/6

so…

(6^2)^285*(1/6)=1/6^571

と考えればいいのかなぁ ^^

端点をAに固定した弦で円を折るとき、

その弦の中点の描く軌跡は？

解答

・わたしの…

これは簡単だけど…

では、この弦にそって劣円弧を内側に折り込んだとき、

その円弧の中点の軌跡はどんな形になるのかが俄にわからないわたし…^^;…?

アットランダム≒ブリコラージュ

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